Ejercicios de matemáticas.
Enviado por Carlos Moreno Rodriguez • 12 de Febrero de 2016 • Prácticas o problemas • 332 Palabras (2 Páginas) • 91 Visitas
Graficar la función F(x) = X3 – 3X + 2 e indicar sus puntos máximos y mínimos si los hubiere.
Solución:
Hallamos su primera derivada:
F’(x) = 3X2 – 3 Ahora la factorizamos:
F’(x) = 3(X2 – 1) (Factor común monomio)
F’(x) = 3(X + 1 )(X – 1) (Diferencia de cuadrados perfectos)
La igualamos a cero para hallar los intervalos de crecimiento.
3(X + 1 )(X – 1) = 0
Luego X + 1 = 0 v X – 1 = 0 de donde se obtienen dos soluciones a la ecuación:
X1 = -1 y X2 = 1 (Valores críticos)
Al trazar una recta numérica y ubicar los valores anteriormente encontrados observamos que la divide en tres intervalos:
[pic 1]
(-∞, -1) , (-1, 1) y (1, ∞) llamados intervalos de crecimiento.
Debemos averiguar el signo de la primera derivada en cada intervalo, una forma es organizando la información en el siguiente cuadro: (En el procedimiento tomamos la derivada en su expresión factorizada)
Intervalo | Valor de prueba | Procedimiento | Signo | Conclusión |
(-∞, -1) | X0 = -2 | F’(x) = 3(X + 1 )(X – 1) F’(-2) = 3(-2 + 1 )(-2 – 1) F’(-2) = 3(-1)(-3) = 9 | + | Creciente |
(-1, 1) | X0 = 0 | F’(x) = 3(X + 1 )(X – 1) F’(0) = 3(0 + 1 )(0 – 1) F’(0) = 3(1)(-1) = -3 | - | Decreciente |
(1, ∞) | X0 = 2 | F’(x) = 3(X + 1 )(X – 1) F’(2) = 3(2 + 1 )(2 – 1) F’(2) = 3(3)(1) = 9 | + | Creciente |
Para graficar solo nos falta hallar las imágenes de los valores críticos X1 = -1 y X2 = 1, remplazándolos en la función original:
F(x) = X3 – 3X + 2
F(-1) = (-1)3 – 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
F(1) = (1)3 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
Punto críticos: (-1, 4) y (1, 0)
Ahora graficamos:
[pic 2]
Inténtalo con la función F(X) = X3 – 9X
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