Matemáticas ejercicios.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS        

CARRERA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

Tema:

“Cuaderno Digital”

Alumno: Erick Danilo Romero Jarro

Asignatura: Matemáticas II

Profesor: Ing. Patricio Díaz

CUENCA – ECUADOR

INIDICE DE TEMAS

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES………………………………………………………………….4

Funciones De Varias Variables………………………………………………………………………..4

                Ejemplos……………………………………………………………………………….5

Derivadas Parciales……………………………………………………………………………………..6

        Procedimiento para encontrar …………………………………………..6[pic 2]

                Ejemplos……………………………………………………………………………….6

Aplicaciones De Las Derivadas Parciales…………………………………………………………..7

        Productos competitivos y complementarios……………………………………………….7

                Ejemplos……………………………………………………………………………….8

Diferenciación Parcial Implícita……………………………………………………………………….9

                Ejemplos……………………………………………………………………………….9

Derivadas Parciales De Orden Superior……………………………………………………………11

                Ejemplos……………………………………………………………………………...11

Regla De La Cadena……………………………………………………………………………………12

                Ejemplos……………………………………………………………………………...12

Máximos Y Mínimos Para Funciones De Dos Variables…………………………………………13

        Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables……………………...14

                Ejemplos……………………………………………………………………………...14

Multiplicadores De LaGrange………………………………………………………………………..16

        Restricciones múltiples……………………………………………………………………….17

                Ejemplos……………………………………………………………………………...17

INIDICE DE IMÁGENES

Imagen 1. …………………………………………………………………………………6[pic 3]

DESARROLO

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

El nivel de producción, está determinado por varios factores y, en general, ninguna variable sola puede representarlo.

Para problemas generales de maximización de utilidades cuando la producción depende de varios factores la solución implica un análisis de la función de producción, que relaciona la producción con la asignación de recursos para la misma. Como por lo general son necesarias varias variables para describir la asignación de recursos, la asignación que proporciona mayor utilidad no puede encontrarse por medio de la diferenciación con respecto a una sola variable.

Funciones De Varias Variables

Supongamos que un fabricante produce dos artículos,  y . Entonces, el costo total depende de los niveles de producción tanto de  como de .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Esta correspondencia puede considerarse como una relación entrada-salida donde las entradas son los pares ordenados. Con cada entrada se asocia exactamente una salida.

Se dice que el programa de costo total puede describirse mediante , que es una función de las dos variables independientes  y . La letra  es la variable dependiente.[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

Ahora se considerará otra función de dos variables, se observa que la ecuación

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define a  como una función de  y :[pic 13][pic 14][pic 15]

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El dominio de  es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales  para los cuales la ecuación tiene sentido, cuando el primero y segundo elementos de  se sustituyen por  y , respectivamente, en la ecuación.[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

No existe razón por la que una función de dos variables deba estar definida para pares de números reales arbitrarios.

Para funciones de dos variables, , el dominio puede representarse de manera geométrica en un sistema coordenado rectangular en tres dimensiones. Tal sistema se forma cuando tres ejes de número reales mutuamente perpendiculares en el espacio, se intersecan en el origen de cada eje.[pic 22]

A cada punto  en el espacio se le puede asignar una terna ordenada única de números, llamada coordenadas de . Debe ser también evidente que a cada terna ordenada se le puede asignar un punto único en el espacio. Debido a esta correspondencia uno a uno entre puntos en el espacio y ternas ordenadas, una terna ordenada puede denominarse como punto. [pic 23][pic 24]

Es posible representar geométricamente una función de dos variables, . A cada par ordenado  en el dominio de , se le asigna el punto . El conjunto de todos estos puntos se llama gráfica de . Se puede considerar que  representa una superficie en el espacio. Se puede decir que una función de dos variables es continua en su dominio si su gráfica es una superficie sin interrupciones.[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Una función de  variables es aquella cuyo dominio consiste en -adas ordenadas  Aunque las funciones de varias variables son sumamente importantes y sutiles, no es posible visualizar las gráficas de funciones de más de dos variables.[pic 31][pic 32][pic 33]

Plano coordenado es un plano que contiene dos ejes coordenados. El plano determinado por los ejes  y  es el plano , también existe el plano  y el plano . Los planos coordenados dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

En el espacio, la gráfica de una ecuación de la forma

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donde  es una constante y ,  y  son constantes y no todas son iguales a cero, es un plano.  Como tres puntos distintos determinan un plano, una manera conveniente de esbozar un plano es encontrar primero los puntos, en caso de que existan, en que el plano interseca los ejes ,  y . Esos puntos se llaman intersecciones.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

Una superficie puede bosquejarse con ayuda de sus trazas, que son las intersecciones de las superficies con los planos coordenados.

Ejemplos

• Determine  para .[pic 47][pic 48]

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• Determine  para .[pic 51][pic 52]

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• Bosqueje .[pic 55]

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Imagen 1. [pic 57]

Derivadas Parciales

Si  la derivada parcial de  con respecto a , denotada por , es la función dada por[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

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siempre que el límite exista.

La derivada parcial de  con respeto a , denotada por , es la función dada por[pic 63][pic 64][pic 65]

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siempre que el límite exista.

Procedimiento para encontrar [pic 67]

Para encontrar  trate a  como constante y diferencie  con respecto a  de la misma manera usual.[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

Para encontrar  trate a  como constante y diferencie  con respecto a  de la misma manera usual.[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

El símbolo  se usa para denotar una derivada parcial. El símbolo  se lee “derivada parcial de  con respecto a ”.[pic 76][pic 77][pic 78][pic 79]

El concepto de derivadas parciales puede extenderse a funciones de más de dos variables.

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