Matematicas ejercicios.

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MATEMÁTICA

SEMANA 4

INECUACIONES Y DESIGUALDADES PARTE I

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ÍNDICE

OBJETIVOSESPECÍFICOS        4

INTRODUCCIÓN        4

INECUACIONES        5

INTERVALOS        5

PROPIEDADES        8

INECUACIONES LINEALES        8

INECUACIONES SIMULTÁNEAS        11

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO        13

INECUACIONES CUADRÁTICAS        15

EI SIGNO DE UN PRODUCTO O COCIENTE        15

CRITERIOS PARA RESOLVER INECUACIONES CUADRÁTICAS        16

MODELADO CON DESIGUALDADES        19

COMENTARIO FINAL        22

REFERENCIAS        23

INECUACIONES Y DESIGUALDADES

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Reconocer los tipos de intervalos existentes.

• Aplicar el proceso adecuado que permite resolver inecuaciones lineales y cuadráticas.

• Utilizar inecuaciones para modelar problema que involucran inecuaciones lineales y cuadráticas.

INTRODUCCIÓN

Las inecuaciones son recurrentes en diversas situaciones, estas se pueden resolver a través de ciertas propiedades de las matemáticas, por ejemplo, cuando se va al supermercado se sabe que  el costo de lo que se compra no puede exceder a la cantidad que se ha dispuesto para ello, es decir:

A+B+C

Donde A, B y C son los bienes que se quieren comprar y P es el presupuesto de la compra.

Las inecuaciones ayudarán en cierta forma a modelar los problemas y así posteriormente poder resolverlos.

INECUACIONES

Una inecuación en la variable x es una desigualdad entre dos expresiones que contiene dicha variable (Galdós, 1998, p. 458).

Ejemplo:[pic 10][pic 11]

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La solución de una inecuación son todos los valores de la variable que hacen la inecuación sea verdadera.[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

La solución de una inecuación corresponde a un subconjunto de los números reales, luego hay que recordar que el conjunto de los números reales (IR o R) es un cuerpo ordenado, por lo tanto se pueden comparar sus elementos mediante una relación de orden, esto se resume en lo siguiente:

Para  a,b∈ IR se tiene:

a • b ⇔ a − b ∈ IR − a • b ⇔ a − b ∈ IR + a ≥ b ⇔ a − b ∈ IR + a ≤ b ⇔ a − b ∈ IR −[pic 17][pic 18]

INTERVALOS

Los subconjuntos de los números reales son los intervalos, los cuales se definen a continuación:

1. INTERVALOS ACOTADOS:

a)        [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a  a y menores e iguales a b .

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b)        [a,b[ = {x ∈ R / a ≤ x • b}

Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a  a y menores a b .

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c)        ]a,b] = {x ∈ R / a • x ≤ b}

Corresponde a todos los números reales que son mayores a a y menores e iguales a b .

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d)        ]a,b[ = {x ∈ R / a • x • b}

Corresponde a todos los números reales que son mayores a a y menores a b .

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1. NO ACOTADOS:

a)  [a, ∞[ = {x ∈ R / x ≥ a}

Corresponde a todos los números reales que son mayores e iguales a a :

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b)  ]a, ∞[ = {x ∈ R / x • a}

Corresponde a todos los números reales que son mayores a a :

[pic 24]

c)  ]∞,b] = {x ∈ R / x ≤ b}

Corresponde a todos los números reales que son menores e iguales a b .

[pic 25]

d)  ]∞,b[ = {x ∈ R / x • b}

Corresponde a todos los números reales que son menores a b .

[pic 26]

Ejemplos de intervalo:

1)  [2, + ∞[

Corresponde a  x ≥ 2 :

[pic 27]

2)   ] − ∞,−1[

Corresponde a  x • −1:

[pic 28]

Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes reglas con la finalidad de aislar la variable a un lado del signo de la desigualdad. Estas reglas indican cuándo dos inecuaciones son equivalentes (el símbolo  [pic 29]significa “equivale  a”). En estas reglas, los símbolos [pic 30] y [pic 31] son números reales o expresiones algebraicas. Aquí se establecen las reglas para desigualdades que contienen el  símbolo [pic 32], pero se aplican a los cuatro símbolos de desigualdad.

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