Ejercicios tema 3. Variables aleatorias unidimensionales

Ejercicios tema 3. Variables aleatorias unidimensionales[pic 1]

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Contenido

3.1. Introducción.        1

3.2.- Definición de variable aleatoria. Tipo de variables aleatorias: discretas y  continuas.        1

3.3.- Distribución de probabilidad.        2

3.3.1.- Distribución de probabilidad para v.a. discreta:        2

3.3.2.- Distribución de probabilidad para v.a.  continua.        3

3.4.- Transformaciones de variables aleatorias.        4

EJERCICIOS TEMA 3        5

3.1. Introducción.

El objetivo de este tema es saber que es una variable aleatoria y cómo calcular probabilidades de variables aleatorias, así como calcular la media y varianza de una variable aleatoria y de sus transformaciones lineales.

3.2.- Definición de variable aleatoria. Tipo de variables aleatorias: discretas y  continuas.

Se dice que una variable X es aleatoria cuando su valor viene determinado por el resultado de un experimento aleatorio, es decir, cuando su valor no se puede determinar a priori. Por ejemplo, la variable aleatoria número obtenido al lanzar un dado o la que diferencia entre producto defectuoso y producto correcto.

Tipos de variables aleatorias. Pueden ser de dos tipos:

• Cuantitativas: son aquellas de naturaleza numérica. Dentro de éstas tenemos las discretas (toman valores discretos) y continuas (pueden tomar los infinitos valores de un intervalo).
• Cualitativas. Son de naturaleza no numérica. Por ejemplo la variable producto defectuoso/producto correcto.

3.3.- Distribución de probabilidad.

Una distribución de probabilidad es una tabla, un gráfico o una función que me dice la probabilidad de que mi variable aleatoria tome un valor concreto o que tome un valor que pertenezca a un intervalo de valores.

3.3.1.- Distribución de probabilidad para v.a. discreta:

- Función de cuantía.

- Función de distribución.

Una v.a. discreta es aquella tal que entre dos valores relativamente próximos la variable sólo puede tomar un número finito de valores. Por ejemplo, el número de vehículos que pasan por un determinado punto cada minuto. Para una v.a. discreta podemos definir dos funciones: función de cuantía y función de distribución.

• Función de cuantía. La función de cuantía de una v.a. discreta X se representa por P(X) y me da la probabilidad de que la variable tome un valor concreto x0, es decir P(x0)=P(X=x0). Las propiedades de la función de cuantía son:

1ª) , es decir, que la suma de probabilidades vale 1.[pic 5]

2ª) P(X), es decir, que las probabilidades son números mayores o iguales a 0.[pic 6]

• Función de distribución. Se representa por F(X) y nos da la probabilidad de que la variable tome un valor igual o inferior a uno determinado, es decir:

[pic 7]

Las propiedades de la función de distribución son:

1ª) F(X) es no decreciente, o sea, si x1<x2[pic 8]

2ª) [pic 9]

3ª) Es continua por la derecha.

4ª) [pic 10]

La función de distribución se utiliza para calcular probabilidades mediante la expresión [pic 11]

Media y varianza de una v.a. discreta. La media o esperanza de una v.a. discreta tiene la expresión , y es el valor medio al que tiende la variable cuando vamos repitiendo sucesivamente el experimento.[pic 12]

La varianza de una v.a. discreta tiene la expresión:

[pic 13]

Distribución de probabilidad exponencial. Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución de probabilidad exponencial de parámetro , si [pic 14]

3.3.2.- Distribución de probabilidad para v.a.  continua.

- Función de densidad.

- Función de distribución.

Una v.a. continua es aquella que puede tomar los infinitos valores de un intervalo. Para una v.a. continua podemos definir dos funciones:

• Función de densidad. Se representa por f(X) y nos da la densidad de probabilidad (no la probabilidad) para un valor de X, o sea, f(x0) me da la densidad de probabilidad en el punto X=x0. Las propiedades de la función de densidad son:

1ª) [pic 15]

2º) [pic 16]

La función de densidad la utilizamos para calcular probabilidades mediante la fórmula . La probabilidad de que una v.a. continua tome un valor en un punto es siempre 0.[pic 17]

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