El Hombre De Acero

ora que hemos visto como determinar la ecuación para una línea recta, pensemos como podemos calcular una ecuación para una línea dibujada en medio de un conjunto de puntos en un diagrama de dispersión. Para esto debemos minimizar el error entre los puntos estimados en la línea y los verdaderos puntos observados que se utilizaron para trazarla.

Para esto debemos introducir un nuevo símbolo, para simbolizar los valores individuales de los puntos estimados, esto es, aquellos puntos que caen en la línea de estimación. En consecuencia escribiremos la ecuación para la línea de estimación como

Una forma en que podemos medir el error de nuestra línea de estimación es sumando todas las diferencias, o errores, individuales entre los puntos observados y los puntos estimados.

La suma de las diferencias individuales para calcular el error no es una forma confiable de juzgar la bondad de ajuste de una línea de estimación.

El problema al añadir los errores individuales es el efecto de cancelación de los valores positivos y negativos, por eso usamos valores absolutos en esta diferencia a modo de cancelar la anulación de los signos positivos y negativos, pero ya que estamos buscando el menor error debemos buscar un método que nos muestre la magnitud del error, decimos que la suma de los valores absolutos no pone énfasis en la magnitud del error.

Parece razonable que mientras más lejos este un punto de la línea e estimación, mas serio seria el error, preferiríamos tener varios errores pequeños que uno grande. En efecto, deseamos encontrar una forma de “penalizar” errores absolutos grandes, de tal forma que podamos evitarlos. Puede lograr esto si cuadramos los errores individuales antes de sumarlos. Con estos se logran dos objetivos:

penaliza los errores más grandes

cancela el efecto de valores positivos y negativos

Como estamos buscando la línea de estimación que minimiza la suma de los cuadrados de los errores a esto llamamos método de mínimos cuadrados.

Si usamos el método de mínimos cuadrados, podemos determinar si una línea de estimación tiene un mejor ajuste que otro. Pero para un conjunto de puntos de datos a través de los cuales podríamos trazar un numero infinito de líneas de estimación, ¿cómo podemos saber cuando hemos encontrado la mejor línea de ajuste?

Los estadísticos han derivado dos ecuaciones que podemos utilizar para encontrar la pendiente y la intersección Y de la línea de regresión del mejor ajuste. La primera formula calcula la pendiente.

b = pendiente de la línea de estimación de mejor ajuste

X = valores de la variable independiente

Y = valores de la variable dependiente

= media de los valores de la variable independiente

= media de los valores de la variable dependiente

n = numero de puntos de datos

La segunda ecuación calcula la intersección en Y

a = intersección en Y

b = pendiente de la ecuación anterior

= media de los valores de la variable

...