El logaritmo de un número complejo , , se define como la inversa de la función exponencial:.
Enviado por Alonso5328 . • 12 de Octubre de 2016 • Resúmenes • 383 Palabras (2 Páginas) • 289 Visitas
Logaritmo complejo
El logaritmo de un número complejo , , se define como la inversa de la función exponencial:[pic 1][pic 2]
[pic 3]
Definición y fórmula:
Para y :[pic 4][pic 5]
[pic 6]
Teniendo así una gran cantidad de valores.
Valor principal
En general el valor principal del , se define como logaritmo complejo correspondiente a y . Para denotar el valor principal del logaritmo se adopta la notación :[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11]
Ahora únicamente existe un valor de para cada .[pic 12][pic 13]
Propiedades
- [pic 14]
- [pic 15]
- [pic 16]
La propiedad A no se cumple para el valor principal del logaritmo natural, por lo que se adopta el siguiente criterio:[pic 17]
[pic 18]
Donde [pic 19]
Derivada
La función logarítmica es discontinua en debido a que no está definida, además es discontinua en todos los puntos del eje real negativo. Esto se debe a que la parte imaginaria de la función es discontinua en dichos puntos. Sin embargo es analítica en todo el dominio D que consta de todos los puntos del plano complejo excepto los del eje real no positivo.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
[pic 26]
Los planos Z y W al aplicar la función en un punto
Cualquier función que satisfaga para todo es una transformación conforme, lo que significa que si dos curvas que pasan a través de un punto a de forman un ángulo α (en el sentido de que las líneas tangentes a las curvas en a forman un ángulo α), entonces las imágenes de las dos curvas forman el mismo ángulo α en f(a).[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
Como una ramificación, es holomorfa1, y como su derivada nunca es 0, esta función define una transformación conforme.[pic 31][pic 32]
Por ejemplo, la ramificación principal w = Log z, vista como un mapeo de a la banda horizontal definida por , tiene las siguientes propiedades, que son una consecuencia directa de la fórmula del logaritmo en términos de la expresión de z en su forma polar:[pic 33][pic 34]
-Círculos de radio a en el plano centrados en 0 son mapeados a segmentos verticales en el plano W, donde a es el radio del círculo.[pic 35]
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