La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

FUNCION LOGARITMO

La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial.

Forma general: .[pic 1]

Donde  b: es un número real positivo distinto de 1, llamado base.          

 x: es un número real positivo, llamado argumento del logaritmo

Propiedad Fundamental:

[pic 2]

El dominio de la función logaritmo es el conjunto de los números reales positivos.

Propiedades Importantes

1. [pic 3] ; con [pic 4] y [pic 5].
2. [pic 6]
3. [pic 7]

Regla del cambio de base

Muchas veces es necesario realizar una transformación a los logaritmos para poder trabajar con ellos, esta transformación es llamada cambio de base. Sean [pic 8] y [pic 9] números positivos distintos de 1, entonces se cumple que:

[pic 10]

Logaritmos Decimales

Si [pic 11], se tiene que [pic 12].

Logaritmo natural

Si [pic 13], se tiene [pic 14] y se escribe [pic 15]

1. A PARTIR DEL MODELO LOGARÍTMICO RESPONDA.

1. Una población de bacterias cambia según el modelo logarítmico [pic 16], donde t es el tiempo en días. Determine:

1. ¿Cuál es la población inicial de bacterias?
2. ¿Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días?

1. La altura de árboles enanos, medida en centímetros, en un vivero, esta dado por la función, [pic 17] donde t es el tiempo en meses. Determine:

1. Inicialmente, ¿cuál es la altura de los árboles?                          
2. ¿Qué altura tendrán los árboles después de 16 meses?                

1. La relación entre la energía liberada  E, en Joule, y la magnitud de un terremoto M (escala Richter) viene dada por [pic 18]. Determine: 

1. Si un temblor libera una energía de 15.000 Joule, ¿cuál es la magnitud del temblor?
2.  ¿Y si un terremoto libera 4,5 · 1016 Joule de energía?                              

1. Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la acidez o la basicidad de ciertas soluciones. Por definición, [pic 19] donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Aproxime el pH de las siguientes soluciones dados sus correspondientes concentraciones de hidrógeno [H+]:

1. Vinagre: [H+] = [pic 20]             
2. Zanahoria: [H+] = [pic 21]           
3. Agua de mar: [H+] = [pic 22]     

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMO  

La gráfica de una función logaritmo [pic 23] es una curva que depende de su base [pic 24]

[pic 25][pic 26]

[pic 27]                                                                [pic 28]

[pic 29]               [pic 30]

Observaciones:

La gráfica pasa por el punto (1, 0) ya que [pic 31] y por el punto (b, 1), ya que, [pic 32].

• Sí, [pic 33] se dice que la función es decreciente.

• Sí, [pic 35] se dice que la función es creciente.[pic 34]

1. DETERMINE LA GRÁFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO            LOGARITMICO.

1. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M dada por:[pic 36]. ¿Qué gráfico modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 37]

1. Un constructor necesita saber en cuánto tiempo t, se enfría totalmente un objeto que tiene una temperatura T. Para ello se rige por la siguiente función [pic 38]. ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 39]

1. Se quiere saber cuántos años deberán pasar para que un auto tenga un valor Vf en millones de pesos, ya que este valor se deprecia pasados t años de acuerdo a la función [pic 40] ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 41]

1. Dada la presión p del aire se quiere conocer la altura H, en metros, sobre el nivel del mar a partir de la expresión [pic 42]. ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 43]

1. A PARTIR DEL MODELO LOGARITMO RESPONDA.

1. Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas más débiles, con flujo luminoso L0, se les asigna magnitud 6. A las estrellas más brillantes se le asigna magnitud M de acuerdo a la función [pic 44], donde L es el flujo luminoso de la estrella.

1. Determine M si [pic 45].              
2. Determine M si [pic 46].

1. Si un fósil tuviese un porcentaje p de carbono-14, en relación con una muestra viva, entonces tendría una antigüedad de T años. La función que permite calcula ésta antigüedad está dada por: [pic 47]

A partir de esto determine:

1. Si un fósil tiene un 99,9% de carbono-14, ¿Cuántos años de antigüedad tiene?        
2. Un fósil con un 10% de carbono-14, ¿Cuántos años de antigüedad tiene?  

1. DETERMINE LA GRAFICA CORRESPONDIENTE A PARTIR DEL MODELO EXPONENCIAL Y RESPONDA

1. Un alumno de recursos naturales quiere saber, en cuánto tiempo t, habrá una población específica de abejas P, en miles. Para conocer este tiempo, creó la siguiente fórmula: [pic 48]¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 49]

1. Un electrónico necesita calcular las redes que debe instalar a partir de un total de routers T, considerando que cada conexión tiene 3 routers.

 La función que permite calcular el total de redes está dada por:[pic 50]. ¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Justifica tu respuesta.

[pic 51]

LISTA DE COTEJO GUÍA N°7 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

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