Definición e historia de los números complejos

Definición e historia de los números complejos.

Historia.

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3. Fueron encontrados por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.

Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Definición de número complejo

Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados

z = (x, y)

De números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

Operaciones fundamentales con números complejos.

Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales. Recogeremos aquí las más básicas y verificamos algunas de ellas.

Las leyes conmitativas

z1 + z2= z2 + z1, z1z2 = z2z1

Y las asociativas

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3)

Se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si

z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),

Entonces

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1

La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva

z(z1 + z2) = zz1 + zz2,

Es similar.

De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir

z = x + iy o z = x + yi

Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales.

La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la identidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,

z + 0 = z y z * 1 = z

Para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos

(x, y) + (u, v) = (x, y),

Donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que

x + u = x e y + v = y;

O sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.

Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo

-z = (-x, -y)

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