Definición y origen de los números complejos

Introduccion

1 Números Complejos

Los números complejos son aquellos números que están compuestos por una parte real y una imaginaria. Estos números elaboran el concepto recta numérica 1-D hacia el plano complejo 2D con la ayuda de una recta numérica para trazar la parte real del número y para sumar el eje vertical a fin de mostrar la parte imaginaria. Por lo tanto, en naturaleza los números complejos contienen los números reales extendidos, lo cual resulta útil al resolver un problema que podría ser difícil si utilizáramos solamente los números reales.

1.1 Definición y origen de los números complejos

Un número complejo es un número con la estructura x + iy. Aquí x es la parte real del número, y es la parte imaginaria del número e i significa imaginario. El valor del cuadrado de i es igual a −1. El número imaginario i es uno de los dos número que cumple con la regla (i) 2 = −1, el otro número es -i. Formalmente, escribimos i =√−1. Un número complejo z se escribe como

z = x + iy

Donde x e y son números reales. Llamamos a x la parte real de z y y la parte imaginaria y escribimos x = Rez, y = Imz.

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales. El complejo conjugado de z = x + iy, denotado como ¯z, es definido como

¯Z = x - iy

El uso de números complejos comenzó mucho antes que estos se definieran formalmente.

Antes no se solía usar el concepto de números complejos, porque si un número se elevaba al cuadrado, este no permanecía negativo. Pero el interés de los matemáticos fue en esta dirección cuando se encontraron con un problema interesante cuya solución no podía ser obtenida, el cual era algo como, x2 + 1 = 0. Aquí tenemos x2 = −1 y no llegamos a la solución, por lo tanto, los matemáticos definieron, con este propósito, un tipo de número, denominado número imaginario . Sin embargo, lo que algunas personas creen, algo muy sorprendente para muchos, es que los números complejos surgieron tras la necesidad de resolver las ecuaciones cúbicas, y no (como comúnmente se cree) las ecuaciones cuadráticas.

La referencia más importante según los registros se encontró en el año 1545 por Cardan. Cardan los encontró mientras investigaba las raíces polinómicas. Se dice que la ‘i’ se formó porque se convirtió en el requisito de los matemáticos. Al principio, durante el periodo inicial de las Matemáticas, la solución de un problema relacionado con la raíz cuadrada de un número negativo, por ejemplo: x2+1=0 era considerado imposible de resolver. Después de un tiempo, los expertos llegaron con el número iota para resolver tales ecuaciones.

1.2 Operaciones básicas con números complejos

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos.

Suma: La operación de sumar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d)i

Esto es, es posible observar que las partes correspondientes de los números reales se suman juntos y que se hace lo mismo con la parte imaginaria.

Examinemos un ejemplo para entender la operación más plenamente:

Imaginemos que debemos expresar (1 + 8i) + (4 + 5i) en forma compleja.

Entonces, sumando la parte real y la parte imaginaria por separado, obtenemos

(1 + 4) + (8 + 5) i

= 5 + 13i

Resta: La operación de restar dos números complejos x + yi y c + di puede expresarse como:

(x + yi) - (c + di) = (x + c) - (y + d)i

Veamos un ejemplo de la resta de dos números complejos:

Imaginemos que debemos expresar (1+ 8i) - (−4 - 5i) en forma compleja.

Entonces, restando la parte real y la parte imaginaria separadamente, obtenemos

= (1 - 4) - (8 - 5)i

= −3 – 3i

Multiplicación: La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como:

(x + y i) (c + d i) = (x c - y d) + (x + d yc) i

Sin embargo, esta multiplicación puede realizarse aplicando las propiedades básicas de la Multiplicación de los Números Reales, y recordando la regla básica de los números complejos, esto es, i2 = −1.

Veamos un ejemplo:

Imaginemos que debemos expresar (2 + 3i) (2 - 2i), en forma compleja.

Usando la propiedad distributiva, obtenemos

= (2 + 3i) (2 - 2i) = (2 + 3i) 2 + (2 + 3i) (- 2i)

= 4 + 6i – 4i - 6i2

Agrupando los mismos términos y aplicando la propiedad i2 = −1 obtenemos,

= 4 + 6i – 4i + 6

= 10 + 2i

División: La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 - i) puede expresarse como:

(8 + 4 i) / (1 - i)

En primer lugar, multiplicando el numerador y el denominador con el conjugado del denominador de la expresión anterior, obtenemos

[(8 + 4 i) (1 + i)]

Agrupando y multiplicando los términos semejantes,

[(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 - i) (1 + i)] =

[8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 - i + i - i 2]

= (4 + 12 i) / (2)

= 2 + 6 i

1.3 Potencia de i, módulo o valor absoluto de los números complejos

Por un largo tiempo se pensó que la obtención de la raíz cuadrada de un número negativo era imposible. Una teoría general, que trabajó detrás de esto estableció, que ningún número puede continuar negativo después haberse elevado al cuadrado. Sin embargo, con el descubrimiento de los números complejos, este estudio se detuvo completamente. Ahora es posible obtener la raíz cuadrada de números negativos y, sin embargo esta es seguida de un símbolo ‘i’. Esta “i” representa el término imaginario, porque tal número no existe en la realidad.

Tales números imaginarios pueden tener formas exponenciales. De hecho varias operaciones realizadas con los números reales también pueden realizarse en el caso de los números imaginarios. La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación. Antes de realizar algo con ella, se asume que el valor de i2 es igual a −1. Esto se puede tomar como un hecho universal de las matemáticas. Todos los otros valores de exponente de i son determinados a partir de este valor global.

A través de esta afirmación, el valor de i3 se convierte en i2 x i. Esto nos produce −1 x i, por lo tanto, obtenemos el valor de i3 como -i. Del mismo modo, el valor de i4 puede obtenerse mediante la ruptura de términos como i¬2 x i2. Por lo tanto, tenemos −1 x −1 y por ello, el valor de i4 viene siendo 1. De esta manera, cualquier valor de la potencia de i puede determinarse rompiendo términos primarios, cuyos valores ya conocemos y su multiplicación, nos ofrecerá el valor deseado. A continuación damos la tabla de las numerosas potencias de i.

i1 = i i2 = −1 i3 = -i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = -i i8 = 1

El módulo o valor absoluto es un concepto esencial de las matemáticas, ya sea respecto a los números reales o complejos. Ya sabemos que el módulo de un número es siempre el número mismo removiéndole su signo de magnitud. Es decir, si el número es positivo, entonces su módulo nos da, de nuevo el mismo número, pero si el número dado es negativo, entonces su módulo sería, la forma positiva de ese número.

En el caso de los números complejos, el valor absoluto se define como la distancia calculada del número complejo desde su origen en un plano complejo. Este concepto es similar al de los números reales con la diferencia, que en lugar de plano complejo tomamos la recta numérica para calcular la distancia del número desde el origen, esto es cero.

1.4 Forma polar y exponencial de los números complejos

Un número complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en la forma de a + bi. De esta forma, a es considerada como el ancho del rectángulo, y b como la altura del mismo. Sin embargo, los números complejos también pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como r θ y generalmente se leído r en un ángulo θ.

‘r’ denota la magnitud de los números complejos y representa la distancia de los números del origen cuando se toman en el sentido de las manecillas del reloj, a través del lado no negativo del eje real.

Ahora veamos la conversión de la forma polar a la rectangular:

Las fórmulas utilizadas para estas conversiones son:

Y a la inversa, la conversión de rectangular a polar:

Estas fórmulas se pueden utilizar.

Ahora, veamos las operaciones de multiplicación y división en la forma polar:

Regla de la multiplicación: En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados.

Regla de la División: En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente.

Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la forma r e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828….

En esta definición, el valor de r es igual que en el anterior, este es el valor absoluto o módulo y define el componente

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