El Álgebra Lineal y sus aplicaciones a Finanzas Introducción

Introducción

El álgebra lineal cimienta las bases de las finanzas debido a dos razones: Primeramente es también la base de la Probabilidad y Estadística, la cual actúa como columna vertebral de todos los modelos financieros modernos. En segundo lugar todos los modelos utilizados hoy en día, ya sea de Optimización de Portafolios, Derivados, Modelos de Valuación, etc. involucran de una forma u otra al álgebra lineal. Ya sea en forma directa como en el caso de Portafolios de conversión en el que hay multiplicación de matrices en el modelo en sí, o de forma indirecta como en modelos de riesgo que involucran la optimización de funciones a través de métodos lineales.

El propósito de este breve resumen expositivo es el de dar una pequeña introducción a algunos temas de finanzas que utilizan como base el álgebra lineal, dichos temas fueron selectos por ser de los más utilizados, y, a pesar de que todos tienen fallas u omisiones intrínsecas siguen siendo los mejores y mas eficientes hoy en día.

Los temas a tratar son:

• Econometría
• Análisis de Escenarios
• Optimización de Portafolios
• Cadenas de Markov

Econometría

La econometría es la rama de las ciencias económicas que analiza, interpreta e intenta predecir datos y relaciones entre sistemas económicos, precios de bienes, entre muchas otras cosas, entre ellas y de especial interés para las finanzas, demandas, divisas y acciones de empresas.

Para poder aplicarla correctamente se utilizan modelos matemáticos, modelos estadísticos, programación lineal y teoría de juegos.

Un modelo econométrico tiene como principales funciones el explicar una variable en función de otras y generar una posible función o trayectoria que dicha variable probablemente seguirá para poder generar modelos en base a estos resultados.

El método de mínimos cuadrados es el más utilizado, también conocido como el método de regresión lineal consiste en representar las relaciones que tiene una variable endógena y una o más variables exógenas de forma lineal y posteriormente de forma cuadrática o polinomial.

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Esto para posteriormente proceder a minimizar los llamados “errores” que son la distancia entre las función proyectada a partir del modelo lineal y los datos reales. Así se obtiene una regresión lineal que permite tomar decisiones y analizar situaciones de forma progresiva.

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Optimización de Portafolios

Se le llama portafolio de inversión a una inversión en acciones, bonos o una combinación de ambos por parte de un inversionista. El total del capital a invertir se distribuye porcentualmente en aquellos instrumentos en los que el inversionista desea invertir a través, principalmente, de un modelo lineal llamado “Capital Asset Pricing Model” o CAPM por sus siglas.

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Este modelo genera los portafolios óptimos a invertir basado en las preferencias del inversionista en cuanto al riesgo a tomar. Asimismo descarta aquellos portafolios llamados ineficientes, los cuales son aquellos que tienen un mejor sustituto, es decir, existe un portafolio con mejor rendimiento para el mismo nivel de riesgo o un portafolio con menor riesgo para el mismo nivel de rendimiento.

En este modelo, una de las partes clave consiste en elaborar la matriz de covarianzas de los instrumentos. Está matriz cuantifica la relación entre dos instrumentos y genera de esta forma, al ponderar cada instrumento con su porcentaje del portafolio total, el riesgo total del portafolio.

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