Aplicación de software para el algebra lineal

UNIVERSIDAD TECNICA DEL NORTE

FACULTAD DE INGENIERIA EN CIENCIAS APLICADAS

APLICACIÓN DE SOFTWARE PARA EL ALGEBRA LINEAL

Nombre: Brayan Esteban Cuasapáz Benavides

Ing: Aguas Jaime

Ingeniería: Mecatrónica

CONTENIDO

Introducción

Matrices y cálculo de matrices:

Son muchas las circunstancias, que se puedan describir usando matrices: suma de matrices, multiplicación escalar, multiplicación de una matriz por un vector, multiplicación de dos matrices. También podemos aplicar estos cálculos dentro y fuera del área matemática y probar la validez de las reglas de cálculo.

¿Dónde está la conexión con la economía? Como vimos en los ejemplos de la introducción, las matrices sirven para representar simples procesos de producción y flujos de producción.

Basándonos en el hecho de que la economía adquiere mucha importancia en la comprensión de los estudiantes en los procesos de producción simple y flujos de producción, y que los estudiantes ya han adquirido un sentido sobre la industria antes de acabar el colegio, los ejemplos de economía-orientada deberían ser uno de los objetivos principales de los colegios. El objetivo del grupo-MaMaEuSch es el de proporcionar material didáctico y asesorar a los profesores en este campo.

Hoy día, el cálculo con matrices no es sólo importante en la economía, sino que alcanza también una gran importancia en las estadísticas, físicas y muchas otras áreas. La aplicación a los ordenadores contribuye positivamente a esto.

Historia

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

Objetivos

-General.

Aprender, Practicar la utilización de herramientas que nos permitan la resolución mas fácil, segura, rápida de una resolución de una matriz a través de software.

-Especifico.

1.- Conocer que software que nos pueden ayudar a resolver una matriz.

2.- Conocer tipos, métodos de matrices y sus resoluciones.

3.-Conocer algunos campos de aplicación de las matrices.

4.- Realizar la resolución de una matriz por medio de un software.

Marco teórico

¿Qué es una Matriz?

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Tipos de matrices.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A•At = I.

Ejercicios de matrices aplicados en la vida real.

Aplicacion De Matrices En Informatica

Tenemos los siguientes en diferentes áreas:

resolver circuitos eléctricos

-resolver sistemas de ecuaciones

-analizar fallas en telecomunicaciones

-encriptar códigos

-analizar probabilidades de corredores de bolsa

-alamcenamiento de información óptima en sistemas

-ayuda para graficar funciones cruzadas

-matrices de markov

-analizar redes eléctricas

-modelar sistemas mecánicos

-resolver flujos de carga (ing. eléctrica)

-analizar crecimiento de poblaciones

En la programación:

• BASIC: Se trata de un lenguaje de programación de alto nivel desarrollado por los estadounidenses John Kemeny y Thomas Kurtz en el Dartmouth College a mediados de la década de 1960.

• puede utilizarse para definir una secuencia de instrucciones para su procesamiento por un ordenador o computadora.

• Pascal (informática), Se trata de un lenguaje compilado y estructurado, basado en el lenguaje ALGOL, que simplifica su sintaxis a la vez que incluye nuevos tipos de datos y estructuras, como subrangos, tipos de datos enumerados, archivos, registros y conjuntos.

• C (Informática), lenguaje de programación desarrollado en 1972 por el estadounidense Dennis Ritchie en los Laboratorios Bell.

• Programación lineal

¿Cuáles son estas aplicaciones?

Representando matrices con un doble apuntador

Una matriz es un arreglo de elementos comunes ordenados en renglones y columnas.

En C como en otros lenguajes, se cuenta con los arreglos (arrays) que permiten representar vectores, matrices y otros elementos.

Habitualmente un arreglo puede ser multidimensional (ser de una, dos o más dimensiones), aunque habitualmente no se ocupan arreglos de más de 7 dimensiones.

Un arreglo que represente a una matriz, puede ser uno de dos dimensiones; lo que permite trabajar en renglones o columnas. Por ejemplo:

1. // Arreglo de dos dimensiones de 3 renglones x 4 columnas

2. int matriz[3][2];

3. int variable;

4. ...

5. // Se hacen operaciones

6. ...

7. variable=matriz[2][0]; // Se guarda en variable, el elemento de la matriz 3,1

Como se observa, en los paréntesis cuadrados se colocan los índices del elemento que se desea recuperar.

Lo que hace el programa con los arreglos en el momento de colocarlos en memoria, es situar los renglones seguidos, uno después del otro.

Por ejemplo el arreglo matriz se puede ver de la siguiente manera:

---+-----+-----+-----+-----+-----+-----+---

...| 0,0 | 0,1 | 1,0 | 1,1 | 2,0 | 2,1 |...

---+-----+-----+-----+-----+-----+-----+---

En ocasiones no se conoce el tamaño del arreglo antes de ejecutar el programa, por lo que resulta conveniente que el arreglo se dimensione en tiempo de ejecución; lo cual se logra sustituyendo el arreglo por un apuntador.

Un apuntador es suficiente para representar una matriz (dado que los elementos son contiguos), siempre y cuando se disponga de operaciones para obtener el elemento adecuado a partir de sus indices.

El uso de doble apuntador, permite manejarlo de igua forma que si fuera un arreglo bidimensional, con la diferencia que los elementos no tienen porque ser contiguos.

base de datos.

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