Electro capcitancia

CAPACITANCIA

Supóngase que se tienen dos conductores A y B separados por un medio aislante de espesor d (puede ser aire u otro material). Una carga +Q ha sido transferida de B a A, dejando a B con una carga negativa – Q

A este arreglo de dos conductores en los cuales se tienen cargas de igual magnitud pero de signo contrario se le llama CAPACITOR.

Los capacitores son dispositivos que almacenan carga, se utilizan en circuitos eléctricos para:

• Sintonizar frecuencias de radio.
• Filtros en suministros de energía eléctrica.
• Eliminar chispas en sistemas de encendido.
• Almacenamiento de energía.

El potencial eléctrico VA en el conductor cargado positivamente es mayor que el potencial VB en B.

La diferencia de potencial entre ambos conductores es ΔV = VA – VB         ΔV > 0

Si Q es la carga en uno u otro conductor de un capacitor y ΔV es la diferencia de potencial entre los conductores, la CAPACITANCIA C de un sistema de dos conductores se define como

[pic 1]

La cual es una cantidad positiva ya que ambos Q y ΔV son positivos.

La unidad de capacitancia es el FARADAY ( F )

[pic 2]

El capacitor se representa en circuitos eléctricos mediante:

[pic 3]

La capacitancia depende de la geometría del capacitor y del material o medio que separa a los conductores cargados (dieléctricos).

La capacitancia de un dispositivo es una medida de su capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica.

La diferencia de potencial que se establece entre ellos depende de la carga, su geometría, de la separación entre los conductores y de la permitividad del medio.

Capacitor de placas paralelas

El capacitor más común es el de placas paralelas en el cual la separación d entre las placas es muy pequeña comparada con las dimensiones lineales de las mismas.

Con estas condiciones, el campo eléctrico es constante y perpendicular a cada placa, excepto en los bordes donde varía. Sin embargo, en la práctica estos efectos pueden despreciarse. En un capacitor, la carga en cada placa esta uniformemente distribuida sobre sus superficies interiores.

Suponga que el campo eléctrico entre las placas está en la dirección x así E = Ex i y suponga que ΔV es la diferencia de potencial entre las placas, las cuales están en x = 0 y en x = d, entonces:

[pic 4]

El campo eléctrico fuera de un conductor, el cual tiene una densidad de carga superficial σ es: [pic 5]

Y puesto que

[pic 6]

donde Q es la carga en la placa positiva y A es el área de cada placa, la magnitud de campo eléctrico es:

[pic 7]

Entonces la capacitancia C del capacitor de placas paralelas se puede escribir como:

[pic 8]

Expresión que nos indica que la capacitancia depende de la geometría del capacitor y de la separación entre los conductores: a mayor área mayor capacitancia; a mayor distancia de separación menor capacitancia, por el contrario a menor área y mayor distancia, menor capacitancia.

[pic 9]

Ejemplo: Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2x10-4 m2 y una separación de placas d = 1.0 mm. Encuentre su capacitancia.

[pic 10]

Si d = 3 mm

[pic 11]

Capacitor esférico

Algunos capacitores tienen simetría esférica, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo: capacitancia de dos conductores esféricos concéntricos en términos de su geometría

Los dos conductores son mostrados en la figura. El radio de la esfera interior es rA y el radio interior del cascarón conductor exterior es rB.

[pic 12]

Podemos suponer que cargas positivas de magnitud Q han sido transferidas del conductor exterior al conductor interior. Entonces la diferencia de potencial que existe entre ellos es:

ΔV = VA – VB

Para determinar ΔV en términos de su geometría se debe recordar que el campo eléctrico fuera de la esfera interior con carga neta Q es el mismo que la de una carga puntual Q localizada en el centro de la esfera.

[pic 13]

[pic 14]

O bien, cambiando los límites de integración:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Por lo que la capacitancia de dos capacitores esféricos es:

[pic 18]

Si el radio interior rB del cascarón esférico tiende al infinito, la expresión anterior se reduce a:

[pic 19]

Ya que el potencial sería el de una carga puntual, originado por la esfera concéntrica. En tal caso, la capacitancia no depende de Q ni de V, sólo de la geometría del capacitor concéntrico y del medio que lo rodea.

Capacitor cilíndrico

Ejemplo: un capacitor cilíndrico largo consiste de un conductor interior de radio a y un conductor coaxial exterior de radio interior b, Si la longitud de cada cilindro es L >> b encuentre una expresión de la capacitancia de este arreglo.

[pic 20]

La diferencia de potencial puede ser calculada a partir de:

[pic 21]

[pic 22]

Donde E(r)=Er es la magnitud del campo eléctrico a una distancia r del eje del cilindro interior.

Para calcular Er aplicamos la ley de Gauss

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Luego entonces:

[pic 28]

[pic 29]

ENERGÍA ALMACENADA EN CAPACITORES

Al cargar un capacitor, la transferencia de carga entre dos conductores del capacitor requiere de una energía adicional. La energía requerida para cargarlo es almacenada cuando este ha sido cargado y puede ser recuperada mediante la descarga.

Calculemos la energía almacenada en un capacitor C cuando una carga Q ha sido depositada en sus placas.

Imaginemos que el capacitor empieza a cargarse a partir de estar completamente descargado (Q = 0)

En la misma etapa del proceso de carga, cuando una carga q ha sido transferida de un conductor a otro, la diferencia de potencial en el capacitor es:

[pic 30]

El trabajo dW necesario para transferir un elemento de carga adicional dq es:

[pic 31]

El trabajo total que deberá realizarse para transferir la carga desde q = 0 hasta q = Q es igual a la energía Uc almacenada en el capacitor cuando tiene una carga Q

[pic 32]

Esta energía almacenada puede ser expresada en término de la diferencia de potencial entre las placas, ya sea en término de la capacitancia o de la carga almacenada, haciendo uso de:

[pic 33]

Sustituyendo en la expresión de energía del capacitor:

[pic 34]

CAPACITORES EN SERIE Y EN PARALELO

Puesto que los capacitores son componentes de circuitos, estos comúnmente son conectados entre si mediante alambres con otros circuitos.

[pic 35]

CONEXIÓN EN PARALELO

La siguiente figura muestra una combinación de dos capacitores de placas paralelas con diferentes áreas que están conectados en paralelo, donde las placas con cargas positivas están al mismo potencial VA porque ellas y el alambre entre ellas forman una superficie equipotencial. Similarmente las placas negativas están al mismo potencial VB.

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