Elongación de un resorte mediante una fuerza

    Elongación de un resorte mediante una fuerza.

1. Resumen

Se colocaron pesos diferentes sobre un resorte para determinar la relación lineal entre la elongación del resorte y la fuerza aplicada para presentar una elongación notable en el resorte. Para determinar esta relación lineal se calculó la fuerza, multiplicando el valor de la gravedad (9.78m/s2) por los 49  valores obtenidos de las masas de las rondanas y  se midieron un total de 49 elongaciones del resorte, usando distintas masas. Se observó que la fuerza aplicada al resorte aumentó, al incrementar la masa que el resorte sostuvo en su extremo inferior.

1. Introducción

La segunda ley de Newton se define como la fuerza que es directamente proporcional a la masa y a la aceleración de un cuerpo.[3] Fórmula (1)

F=ma     (1)

La masa es una medida fundamental de la cantidad de materia en el objeto.El símbolo usual de la masa es m y su unidad en el sistema SI es el kilogramo.[1] 

El peso de un objeto es la fuerza de la gravedad sobre el objeto y se puede definir como el producto de la masa por la aceleración de la gravedad. Fórmula (2)

w = mg    (2)  

Para un objeto en caída libre, la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él, por lo tanto, la expresión para el peso derivada de la segunda ley de Newton [Figura 1].Fórmula (3)

F=mg  (3)

La mayoría de las fuerzas están ejercidas por un cuerpo en contacto con otro (constituyen excepciones las fuerzas de gravedad y las fuerzas de eléctricas magnéticas). En el  resorte, un dispositivo construido con alambre enrollado en forma de hélice, la fuerza que ejerce cuando se le comprime o estira es el resultado de fuerzas intermoleculares en el resorte. Si éste está comprimido o estirado y se suelta volverá a su longitud original o natural , si la deformación que se le había dado no era demasiado  grande. Estas deformaciones tienen un límite , más allá del cual el resorte no vuelve a su longitud original sino que queda deformado permanentemente. Si solamente se permiten deformaciones por debajo de dicho límite se calibra el alargamiento o la compresión  en función de la fuerza necesaria para producir tal alargamiento o compresión. Experimentalmente, a valores pequeños de , la fuerza que ejerce el resorte es aproximadamente proporcional a . Esta relación, llamada ley de Hooke puede escribirse en la forma Fórmula (8):[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Donde  es la constante recuperadora del resorte. La distancia  es la coordenada libre del resorte o de cualquier cuerpo unido a dicho extremo. La constante es el valor de esta coordenada cuando el resorte no está deformado, es decir, cuando está en su posición de equilibrio.En la fórmula (8) hay un signo negativo porque si el resorte está estirado (positivo) la fuerza , es negativa mientras que si el resorte está comprimido (negativo) ,es positiva. Esta fuerza recibe el nombre de fuerza recuperadora porque tiende a llevar al resorte a su configuración inicial.[6] [pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Se utilizan los resortes porque son cuerpos elásticos que modifican su tamaño al aplicarles una fuerza. En ellos, la longitud varía de forma directamente proporcional con la magnitud de la fuerza aplicada.

La fuerza de la atracción gravitacional de la Tierra sobre un objeto que cuelga de un resorte, se puede relacionar con su elongación. [3] Para interpretar la tendencia de los valores  de la elongación de un resorte y la fuerza aplicada al resorte, se realiza a través del  trazado de un  diagrama de dispersión.

Para saber la intensidad de relación lineal que presentan  la elongación de un resorte y la fuerza aplicada al resorte se calcula el coeficiente de correlación. Fórmula (4)

[pic 13]        (4)

[pic 14]

Para verificar que la relación entre  la elongación del resorte y la fuerza aplicada al resorte  no se debió al azar, se utiliza la prueba de significancia del  coeficiente de correlación[Fórmula 5],también conocida como prueba t de Student, donde el valor obtenido representa la correlación de los valores.[pic 15]

con n-2 grados de libertad                  (5)

Una vez obtenido el valor de t de Student se verifica su nivel de confianza utilizando la tabla de nivel de significancia de dos colas y la tabla de intervalos de confianza [Apéndice C].

Para verificar el valor obtenido de t en el nivel de significancia de dos colas se observa  cuál de  las  siguientes dos hipótesis cumple:

[pic 16]La correlación en los valores es nula o cero. Es decir la correlación se rechaza, por que no hay una correlación en los valores .

[pic 17]La correlación en los valores es diferente de cero. Es decir la correlación se acepta, por que hay una correlación en los valores.

En la figura 2 se muestra una gráfica de nivel de significancia de dos colas cuya t calculada se encuentra en al área entre +1.812 y -1.812.

[pic 18]

Figura 2: Gráfica de la Prueba de significancia entre +1.812 y -1.812.

El coeficiente de determinación es el grado de la variación en la variable dependiente , que se explica por la variación en en la variable independiente .[5] El coeficiente de determinación se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. Una vez que se verificaron los valores de las variables tienen una relación , se procede a realizar la regresión lineal  teniendo en cuenta las 4 consideraciones básicas, las cuales son:[5]

1.Los valores de Y deben seguir la distribución normal.

2. Debe haber una  media sobre la línea de regresión.  

3. La desviación estándar de todas las distribuciones normales deben ser iguales.

4. Los valores deben ser independientes uno de otro.

Se usó el método de mínimos cuadrados  para ajustar la recta a los valores de elongación del resorte y la fuerza aplicada al resorte ,ya que el método de mínimos cuadrados es un método que se usa  para aproximar o ajustar mejor una recta o una curva a un conjunto de puntos minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores verdaderos de Y y los valores pronosticados de Y. [4 y 5] La ecuación de la recta es (Fórmula 6):

                  y = mx + b    (6)

Donde:

m                     es la pendiente, la cual se determina de la fórmula 7.

b                      es la ordenada al origen, la cual se determina  de la fórmula 8

[pic 19](7)    

[pic 20](8)

1. Desarrollo experimental

Se montó el soporte universal y con una pinza se ajustó de forma vertical el resorte como se muestra en la figura 3. Después de montar el dispositivo se colocó un hilo unido al extremo inferior del resorte y se midió su elongación con un flexómetro con incertidumbre de 0.01cm. Se seleccionaron 10 rondanas, cuyo peso fue medido con una balanza analítica con incertidumbre 0.02 gramos y se colgaron con el hilo sobre el resorte. Se midió con el flexómetro la longitud de la elongación de cada una. Este procedimiento se repitió cinco veces para cada una de las rondanas y se registraron los datos obtenidos en la tabla 1 del Apéndice A. [pic 21]

[pic 22][pic 23]

En seguida, se continuó con el tratamiento matemático de los datos registrados en la primer columna de la tabla 1 para lo cual, primero se determinó la masa con su incertidumbre asociada y el peso del hilo, expresada en unidades del SI. En segundo lugar, se calculó  la fuerza aplicada al resorte con la fórmula  (3), donde el valor de la gravedad es de 9.78m/s2.

Se  tomó el valor de  9.78m/s2 para la gravedad considerando que Ciudad Universitaria se encuentra por encima del nivel del mar, con una  la latitud  de 19º 25′ 10″ N y una longitud  de 99° 8′ 44″ W[6], el valor experimental es diferente al valor de 9.81 m/s2 ,debido que este valor  sólo se considera al nivel del mar.

...