En esta práctica utilizamos MatLab para verificar que una función periódica puede ser aproximada usando sumas parciales de la serie de Fourier.
Enviado por Sigma DG • 11 de Noviembre de 2016 • Apuntes • 375 Palabras (2 Páginas) • 122 Visitas
1. Introduccion
En esta práctica utilizamos MatLab para verificar que una función periódica puede ser aproximada usando sumas parciales de la serie de Fourier.
Partimos de la siguiente teoría:
El Teorema de Fourier asegura que (bajo ciertas condiciones) toda función periódica f (t) de periodo T puede expresarse como suma (serie de Fourier) de funciones seno y coseno:
[pic 1]
donde es la frecuencia (angular) fundamental y todas las otras frecuencias son múltiplos enteros (armónicos) de . Por lo tanto, otra forma de escribir la identidad es:[pic 2][pic 3]
[pic 4]
Los coeficientes y se calculan como sigue[pic 5][pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
En tanto que se define como el valor medio de la función, es decir[pic 9]
[pic 10]
El proceso de hallar los coeficientes de los senos y cosenos se denomina análisis de Fourier y el proceso de reconstruir la función a partir de dichos coeficientes, síntesis de Fourier. Al usar un ordenador para estas operaciones, la suma infinita debe obviamente truncarse y sumar sólo un número finito de términos, obteniendo una aproximación de la función original.
2. Ejemplos analizados
Para la práctica utilizamos dos funcione. La primer función, f(t), corresponde a una señal cuadrada de periodo T = 2, amplitud 1 y máximo de 1; la segunda corresponde a la señal periódica g(t) = |sen(t/120)|.
Las gráficas se muestran a continuación:
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
[pic 18][pic 19]
Análisis de Fourier
Usando las formulas citadas en párrafos anteriores los coeficientes para las series de Fourier son los siguientes.
Para la función f(t):
[pic 20][pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
[pic 32]
Y por lo tanto la función se puede escribir de la siguiente forma:
[pic 33]
(Recordemos que se definió como el valor medio de la función, por lo que no es difícil ver que su valor es se indica en la expresión de arriba.)[pic 34][pic 35]
Con la segunda función, g(t), los cálculos para determinar los coeficientes no son tan sencillos como con f(t) por lo que sólo se muestran los resultados sin el procedimiento para obtenerlos, baste decir que se utilizaron las definiciones de la introduccion.
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