Funciones Periodicas

Funciones periódica

Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida. Matemáticamente, esta condición la podemos expresar de la siguiente forma

(Ec.1)

donde T es el periodo característico de la función f(t).

Figura 1. Ejemplo de función periódica con periodo T.

Como podemos ver en la figura 1, si conocemos la forma de la función en el intervalo [0,T], la conocemos en todo el espacio, debido a que con una simple traslación de periodo T, podemos extender su campo de existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una característica intrínseca de las funciones periódicas. Teniendo en cuenta esta característica, intentemos evaluar cualitativamente el aspecto que debe de tener la imagen recíproca (transformada de Fourier) asociada a una función periódica f(t). Consideremos para ello que la función f(t), solo se encuentra definida en el intervalo acotado 0,T.

Sabemos que en un intervalo acotado, 0,L, la función la podemos representar como una combinación lineal de funciones armónicas, que llamamos “series de Fourier”.

La característica principal de estas series, es que solo están permitidos unos determinados valores propios o frecuencias propias, en función de las condiciones de borde a las que estuviese sometida la función. Fijándonos en este hecho, será de esperar que el aspecto de la transformada de Fourier de la función f(t), periódica y definida en el intervalo [0,T], sea discreto. De hecho, esta discretización, deberá de ser proporcional al periodo en el que se encuentra definida la función, es decir proporcional al inverso del periodo T. La figura 2, muestra lo que cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de Fourier, asociada a la función periódica f(t).

Figura 2. Aspecto cualitativo de la imagen recíproca de una función periódica.

Imagen recíproca de una función periódica

Para poder ir más allá y averiguar cual será la “distribución de amplitud” que tiene la imagen recíproca de una función periódica genérica, deberemos de estudiar analíticamente este tipo de funciones. Si aplicamos la definición de transformada de Fourier a la función periódica f(t), obtenemos que

(Ec.2)

Si realizamos el cambio de variable, t´= t + T, vemos que la igualdad (Ec.2) adquiere la forma

(Ec.3)

Comparando las ecuaciones (Ec.2) y (Ec.3),

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