Funciones Periodicas

Funciones periódica

Una función es periódica si cumple la condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida. Matemáticamente, esta condición la podemos expresar de la siguiente forma

(Ec.1)

donde T es el periodo característico de la función f(t).

Figura 1. Ejemplo de función periódica con periodo T.

Como podemos ver en la figura 1, si conocemos la forma de la función en el intervalo [0,T], la conocemos en todo el espacio, debido a que con una simple traslación de periodo T, podemos extender su campo de existencia hasta donde nos sea necesario. Esta es una característica intrínseca de las funciones periódicas. Teniendo en cuenta esta característica, intentemos evaluar cualitativamente el aspecto que debe de tener la imagen recíproca (transformada de Fourier) asociada a una función periódica f(t). Consideremos para ello que la función f(t), solo se encuentra definida en el intervalo acotado 0,T.

Sabemos que en un intervalo acotado, 0,L, la función la podemos representar como una combinación lineal de funciones armónicas, que llamamos “series de Fourier”.

La característica principal de estas series, es que solo están permitidos unos determinados valores propios o frecuencias propias, en función de las condiciones de borde a las que estuviese sometida la función. Fijándonos en este hecho, será de esperar que el aspecto de la transformada de Fourier de la función f(t), periódica y definida en el intervalo [0,T], sea discreto. De hecho, esta discretización, deberá de ser proporcional al periodo en el que se encuentra definida la función, es decir proporcional al inverso del periodo T. La figura 2, muestra lo que cabe esperar respecto al aspecto de la transformada de Fourier, asociada a la función periódica f(t).

Figura 2. Aspecto cualitativo de la imagen recíproca de una función periódica.

Imagen recíproca de una función periódica

Para poder ir más allá y averiguar cual será la “distribución de amplitud” que tiene la imagen recíproca de una función periódica genérica, deberemos de estudiar analíticamente este tipo de funciones. Si aplicamos la definición de transformada de Fourier a la función periódica f(t), obtenemos que

(Ec.2)

Si realizamos el cambio de variable, t´= t + T, vemos que la igualdad (Ec.2) adquiere la forma

(Ec.3)

Comparando las ecuaciones (Ec.2) y (Ec.3), apreciamos que, para que se cumpla la igualdad, debe de cumplirse la condición

lo que tiene como consecuencia el hecho de que los únicos valores posibles de w serán aquellos que cumplan que

para cualquier valor entero de n. Por lo tanto solo aparecen, como “frecuencias propias” posibles, las wn proporcionales al inverso del periodo, tal y como habíamos deducido cualitativamente en el apartado anterior. Esta característica de discretización de las funciones periódicas, nos permite representar su imagen recíproca como una combinación lineal de funciones delta de Dirac.

En forma temporal el aspecto de la imagen recíproca será

(Ec.4)

Análogamente, la forma espacial tendrá el aspecto

(Ec.5)

Intuitivamente podríamos decir que una función periódica genérica f(t), posee una función transformada de Fourier con el aspecto de una serie de Fourier. Veámoslo aplicando la definición general de transformada de f(t) a la ecuación 4,

como “integrar sobre deltas de Dirac es un regalo”, debido a que

llegamos, en definitiva, a la forma en serie de Fourier

(Ec.6)

Lo que acabamos de ver tiene como consecuencia inmediata que cualquier función f(t) o f(x), periódica

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