Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

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Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos aplicaciones:

Operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

operación externa tal que:

a)

b)

c)

d)

Los elementos de K se llaman escalares.

Los elementos de V se llaman vectores.

Observación

Para demostrar que un conjunto V es un espacio vectorial:

* Si supiésemos que V es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos resuelto 1,2,3 y 4.

* Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de V tendríamos a y b.

Definición de subespacio vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K y no vacío,U es un subespacio vectorial de V si:

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Consecuencias

U hereda las operaciones de V como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de U, y como consecuencia tenemos que U es un espacio vectorial sobre K.

Primer ejemplo con demostración al detalle

Queremos ver que es un espacio vectorial sobre

Veamos pues que juega el papel de V y el de K:

Los elementos de son, de forma genérica, pares (x,y) de números reales.

defino

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