Espacios Vectoriales
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Espacios Vectoriales
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
17 de junio de 2008
´I
ndice
15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.2. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
15.3. Abstracci´on y Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.4. Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.5. El concepto de operaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
15.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
15.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15.1. Objetivos
En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las
matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante
un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.
15.2. Motivaci´on
Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´on a un sistema de
ecuaciones lineales.
Ejemplo 15.1
Considere el sistema homog´eneo:
x + 2 y + w + 2 t = 0
2 x + 4 y − z + w + 5 t = 0
x + 2 y + z + 2w + t = 0
z + w − t = 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 0 1 2 0
2 4 −1 1 5 0
1 2 1 2 1 0
0 0 1 1 −1 0
→
1 2 0 1 2 0
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= y
−2
1
0
0
0
+ w
−1
0
−1
1
0
+ t
−2
0
1
0
1
Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:
1 2 1 0 2 0
2 4 1 −1 5 0
1 2 2 1 1 0
0 0 1 1 −1 0
→
1 2 0 −1 3 0
0 0 1 1 −1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:
x
y
z
w
t
= y
−2
1
0
0
0
+ z
1
0
1
−1
0
+ t
−3
0
0
1
...