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Espacios Vectoriales


Enviado por   •  30 de Mayo de 2012  •  5.416 Palabras (22 Páginas)  •  747 Visitas

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Espacios Vectoriales

Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM

17 de junio de 2008

´I

ndice

15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

15.2. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

15.3. Abstracci´on y Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

15.4. Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

15.5. El concepto de operaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

15.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

15.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

15.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

15.1. Objetivos

En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las

matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante

un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.

15.2. Motivaci´on

Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´on a un sistema de

ecuaciones lineales.

Ejemplo 15.1

Considere el sistema homog´eneo:

x + 2 y + w + 2 t = 0

2 x + 4 y − z + w + 5 t = 0

x + 2 y + z + 2w + t = 0

z + w − t = 0

Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:



1 2 0 1 2 0

2 4 −1 1 5 0

1 2 1 2 1 0

0 0 1 1 −1 0



→



1 2 0 1 2 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0



De donde la f´ormula para las soluciones son:



x

y

z

w

t



= y



−2

1

0

0

0



+ w



−1

0

−1

1

0



+ t



−2

0

1

0

1



Si utilizamos el orden x → y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:



1 2 1 0 2 0

2 4 1 −1 5 0

1 2 2 1 1 0

0 0 1 1 −1 0



→



1 2 0 −1 3 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0



De donde la f´ormula para las soluciones son:



x

y

z

w

t



= y



−2

1

0

0

0



+ z



1

0

1

−1

0



+ t



−3

0

0

1

1



Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:



1 2 2 0 1 0

2 4 5 −1 1 0

1 2 1 1 2 0

0 0 −1 1 1 0



→



1 2 0 2 3 0

0 0 1 −1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0



De donde la f´ormula para las soluciones son:



x

y

z

w

t



= y



−2

1

0

0

0



+ z



−2

0

1

0

−1



+ w



−3

0

0

1

1



Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:



2 1 0 1 2 0

4 2 −1 1 5 0

2 1 1 2 1 0

0 0 1 1 −1 0





1

1

2

0

1

2

1 0

0 0 1 1 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0



De donde la f´ormula para las soluciones son:



x

y

z

w

t



= x



1

−1/2

0

0

0



+ w



0

−1/2

−1

1

0



+ t



0

−1

1

0

1



Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto

soluci´on. Necesitamos una teor´ıa que nos d´e confianza en los resultados obtenidos; qu´e nos indique las cosas

que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las m´ultiples respuestas v´alidas en Rn que podemos

obtener. Adem´as de los conjuntos soluci´on en Rn, existen otras ´areas de la ingenier´ıa que requieren un

apoyo matem´atico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenier´ıa industrial y en control; las series

trigonom´etricas en procesamiento de se˜nales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los

IFIs, etc..

¿C´omo desarrollar una teor´ıa comod´ın que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ning´un cambio importante?

2

15.3. Abstracci´on y Generalizaci´on

Si se hace una encuesta entre los matem´aticos sobre que palabras describen a las matem´aticas se notar´a que

la mayor´ıa responde al menos dos palabras claves: abstracci´on y generalizaci´on. La abstracci´on tiene que ver

con representar cantidades por medio de s´ımbolos ,y la generalizaci´on tiene que ver con la construcci´on

...

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