Espacios Vectoriales
Enviado por ceciliaquintanar • 4 de Julio de 2013 • 2.845 Palabras (12 Páginas) • 331 Visitas
Tecnológico de estudios superiores de Coacalco
Algebra lineal
Espacios Vectoriales
Cecilia Quintanar Cortes
Trabajo de investigación
Ingeniería Mecatrónica
5211
03/07/2013
introduccion
Espacios vectoriales de dimensión finita.
Son el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales .
Un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo siempre es compatible. En el caso de que haya infinitas soluciones, deberíamos intentar manipular dicho conjunto.
Profundizar en su estructura, saber manejar espacios vectoriales dentro de un espacio mayor a través de sus sistemas de ecuaciones, relaciones entre ellos (sumas e intersecciones), o dar conjuntos básicos de elementos que, de algún modo, permitan obtener todas las respuestas posibles.
Indice
Espacios vectoriales……………………………………………….…………..4
Subespacios vectoriales…………………………………………….………..5
Combinacion lineal……………………………………………………….…….6
Dependecia e independencia lineal………………………………..…10
Bases……………………………………………………………………………......12
Espacio nulo o nulidad ………………………………………………….…14
Conclusion ………………………………………………………………….…...15
Bibliografia……………………………………………………………………….16
Espacios Vectoriales
Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:
1. Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V
2. Ley conmutativa u + v = v + u
3. Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w
4. Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u
que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.
5. Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0
6. Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V
7. Ley Distributiva c (u + v) = cu + cv , para todo
real c y todo elemento u y v en V. V
8. Ley Distributiva (c+d) u = cu + du
para todo número real c y d, y todo elemento u en V.
9. Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
y todo elemento u en V.
10. Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.
Sub-espacios Vectoriales
Sea un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial de es un subconjunto de tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en , es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.
Teorema (de caracterización) Sea un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:
1.
2.
Demostración
Es evidente, porque las operaciones y son operaciones en .
Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en porque se cumplen en .
Corolario Un subconjunto no vacío de es subespacio vectorial si y solo si, para cada y para cada se cumple
.
COMBINACIÓN LINEAL
Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.
Una combinación lineal en M23
Conjunto generador.
Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn
Cuatro vectores que generan a M22
Espacio generado por un conjunto de vectores.
Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk}
...