ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS LINEALES Y VECTORIALES

Introducción.-

Se comenzó a estudiar los conjuntos desde los naturales(N),enteros (Z),racionales(Q),irracionales(I),reales(R)y complejos (C) ; es decir conoce los elementos de todos estos conjuntos y en su momento ha operado mediante los operadores: + ,- ,× ,÷ ,√(n ),potenciaciòn,□(24& dx)e∫▒xdx.

Es decir conoce sobre conjuntos (agrupación de elementos) y subconjuntos como parte de los elementos de un conjunto. También conoce de la relación de conjuntos mediante el operador Producto Cartesiano, que en su momento explica la formación de relaciones binarias y la idea de Espacio en dos dimensiones, luego del espacio en tres dimensiones.

Sucede que en su momento aún no se podía explicar lo que se quiere decir con Espacio, hace falta otros conceptos como Estructura algebraica, grupo, anillo, etc. El concepto es abstracto y muy amplio por los diversos nombres que va tomando, no solo debemos conocer de estos conceptos sino de leyes y propiedades; simplemente se decía que se forma un espacio vectorial y a sus elementos se les llama vectores.

El inicio de todo es un conjunto que Ud. Ya conoce, luego si a dos conjuntos se les aplica un operador “suma por ejemplo” se genera un tercer conjunto con los elementos que generan el operador, a todo esto se le llama ESTRUCTURA ALGEBRAICA, cuando se aplica más de un operador esta estructura cambia de nombre y si cumple propiedades, sigue cambiando de nombre; para un cierto número de operadores y un cierto número de propiedades la combinación de conjuntos se llama Espacio Vectorial.

Definición.-

Un espacio utiliza 2 operadores “la suma(+) y el producto(.)” y cumple con 2 leyes, llamadas de la cerradura para la suma y la cerradura para el producto por un escalar. Por ejemplo sea el conjunto de los reales (R) si tomamos dos elementos cualquiera de este conjunto se cumple:

a.- 3 + 4 = 7, es decir la suma siempre pertenece al conjuntoR. “se le conoce como la ley de la cerradura para la suma”

b.- 2 (4) = 8, es decir el producto de un elemento del conjunto por un escalar siempre pertenece al conjunto R. “se le conoce como la ley de la cerradura para el producto por un escalar”.

Nota: Se entiende que cuando se dice un escalar, Ud. Está acostumbrado a tomar cualquier número de los reales, pero en el caso de un espacio este escalar puede ser un real o un complejo; por eso se habla de un cuerpo de escalares, a quien en adelante identificamos como K, luego sus elementos pueden ser reales o complejos.

Además de estas leyes, debe cumplir con las siguientes propiedades:

∀ a,b,c ∈ R y m,n∈k "llamado cuerpo de escalares"

1.- a+b=b+a 1.- m(a+b)=ma+mb

2.- a+(b+c)=(a+b)+c 2.- (m+n)a=ma+na

3.- a+0=a 3.- 1.a=a

4.- a+(-a)=0 4.- m.n(a)=m.(n.a)

Luego el conjunto de los números reales R es un “espacio vectorial” y por lo tanto a los elementos de un espacio vectorial se les conoce como vectores, su representación es la recta. Para este caso al conjunto de R se le dice unidimensional.

Si, formamos mediante el producto cartesiano RxR=R^2 un tercer conjunto donde sus elementos son binarios de tipo (a,b); resulta que el conjunto de estos elementos cumple con todo lo anterior:

(2,3) + (-5,6) = (-3,9) el elemento pertenece a R^2, y se cumple la ley de la cerradura para la suma. “ es decir no importa que par de elementos tomemos, siempre se cumple”

-4 . (-3,7) = (12,-28) el elemento pertenece a R^2, y se cumple la ley de la cerradura para el producto. “ es decir no importa el escalar(-4) y el elemento(-3,7), siempre se cumple”

Ahora, también cumple con las propiedades anteriores, por eso el conjunto R^2; también es un espacio vectorial y sus elementos son vectores, cuya representación es un plano.

Podemos hacer lo mismo para R^3,R^4,……R^n y todos son espacios vectoriales, para diferenciarlos entre ellos hacemos uso de su exponente y le llamamos de una dimensión, segunda dimensión, tercera dimensión, etc.

Que sucede si elegimos un conjunto donde sus elementos son todos matrices de orden 2, por ejemplo A={[■(a&b@c&d)],tal que a,b,c,d ∈ R}

Tomamos dos elementos cualquiera [■(3&2@7&1)]+[■(-2&8@1&-9)]=[■(1&10@8&8)] acaso este elemento no pertenece al conjunto A, luego se cumple la ley de la cerradura en la suma.

(-3) .[■(-4&2@7&2)]=[■(12&-6@-21&-6)]También ∈ A y se cumpla la cerradura en la multiplicación

Luego observará que también cumple con las propiedades anunciadas y por lo tanto resulta que este conjunto es un ESPACIO VECTORIAL y a sus elementos se les llama también VECTORES.

Ahora formamos otro conjunto donde todos sus elementos son polinomios de grado 2, por ejemplo B= {ax^2+bx+c /a,b,c∈ R}

(3x^2+2x+5)+(-2x^2+5x-6)=x^2+7x-1 Acaso este polinomio no pertenece al conjunto B, luego se cumple la ley de la cerradura en la suma.

(-3).( x^2-6x+7)=-3x^2+18x-21 , también ∈ B y se cumple la ley de cerradura en el producto.

Nuevamente al pasar por las propiedades observará que este conjunto es un espacio vectorial y a sus elementos debemos llamarlos vectores.

Si, ahora Ud. Forma un conjunto y en él se cumple la ley de la cerradura para la suma y el producto por un escalar, así como el cumplimiento de las propiedades, habrá formado un espacio vectorial y a sus elementos se le debe llamar vectores.

Todos los espacios vectoriales formados y por formar debemos agruparlos de manera general en un gran conjunto denotado “ v ” y los escalares reales o complejos en un cuerpo K.

Espacio vectorial es el conjunto v de elementos {u,v} los cuales cumplen la ley de la cerradura para la suma y la ley de la cerradura para el producto escalar, donde el escalar pertenece al cuerpo K, además de las propiedades anteriormente señaladas.

Los elementos de un espacio vectorial pueden ser matrices, polinomios, funciones, etc.

ALGEBRA EN EL ESPACIO N DIMENSIONAL.

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