ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS LINEALES Y VECTORIALES

Introducción.-

Se comenzó a estudiar los conjuntos desde los naturales(N),enteros (Z),racionales(Q),irracionales(I),reales(R)y complejos (C) ; es decir conoce los elementos de todos estos conjuntos y en su momento ha operado mediante los operadores: + ,- ,× ,÷ ,√(n ),potenciaciòn,□(24& dx)e∫▒xdx.

Es decir conoce sobre conjuntos (agrupación de elementos) y subconjuntos como parte de los elementos de un conjunto. También conoce de la relación de conjuntos mediante el operador Producto Cartesiano, que en su momento explica la formación de relaciones binarias y la idea de Espacio en dos dimensiones, luego del espacio en tres dimensiones.

Sucede que en su momento aún no se podía explicar lo que se quiere decir con Espacio, hace falta otros conceptos como Estructura algebraica, grupo, anillo, etc. El concepto es abstracto y muy amplio por los diversos nombres que va tomando, no solo debemos conocer de estos conceptos sino de leyes y propiedades; simplemente se decía que se forma un espacio vectorial y a sus elementos se les llama vectores.

El inicio de todo es un conjunto que Ud. Ya conoce, luego si a dos conjuntos se les aplica un operador “suma por ejemplo” se genera un tercer conjunto con los elementos que generan el operador, a todo esto se le llama ESTRUCTURA ALGEBRAICA, cuando se aplica más de un operador esta estructura cambia de nombre y si cumple propiedades, sigue cambiando de nombre; para un cierto número de operadores y un cierto número de propiedades la combinación de conjuntos se llama Espacio Vectorial.

Definición.-

Un espacio utiliza 2 operadores “la suma(+) y el producto(.)” y cumple con 2 leyes, llamadas de la cerradura para la suma y la cerradura para el producto por un escalar. Por ejemplo sea el conjunto de los reales (R) si tomamos dos elementos cualquiera de este conjunto se cumple:

a.- 3 + 4 = 7, es decir la suma siempre pertenece al conjuntoR. “se le conoce como la ley de la cerradura para la suma”

b.- 2 (4) = 8, es decir el producto de un elemento del conjunto por un escalar siempre pertenece al conjunto R. “se le conoce como la ley de la cerradura para el producto por un escalar”.

Nota: Se entiende que cuando se dice un escalar, Ud. Está acostumbrado a tomar cualquier número de los reales, pero en el caso de un espacio este escalar puede ser un real o un complejo; por eso se habla de un cuerpo de escalares, a quien en adelante identificamos como K, luego sus elementos pueden ser reales o complejos.

Además de estas leyes, debe cumplir con las siguientes propiedades:

∀ a,b,c ∈ R y m,n∈k "llamado cuerpo de escalares"

1.- a+b=b+a 1.- m(a+b)=ma+mb

2.- a+(b+c)=(a+b)+c 2.- (m+n)a=ma+na

3.- a+0=a 3.- 1.a=a

4.- a+(-a)=0 4.- m.n(a)=m.(n.a)

Luego el conjunto de los números reales R es un “espacio vectorial” y por lo tanto a los elementos de un espacio vectorial se les conoce como vectores, su representación es la recta. Para este caso al conjunto de R se le dice unidimensional.

Si, formamos mediante el producto cartesiano RxR=R^2 un tercer conjunto donde sus elementos son binarios de tipo (a,b); resulta que el conjunto de estos elementos cumple con todo lo anterior:

(2,3) + (-5,6) = (-3,9) el elemento pertenece a R^2, y se cumple la ley de la cerradura para la suma. “ es decir no importa que par de elementos tomemos, siempre se cumple”

-4 . (-3,7) = (12,-28) el elemento pertenece a R^2, y se cumple la ley de la cerradura para el producto. “ es decir no importa el escalar(-4) y el elemento(-3,7), siempre se cumple”

Ahora, también cumple con las propiedades anteriores, por eso el conjunto R^2; también es un espacio vectorial y sus elementos son vectores, cuya representación es un plano.

Podemos hacer lo mismo para R^3,R^4,……R^n y todos son espacios vectoriales, para diferenciarlos entre ellos hacemos uso de su exponente y le llamamos de una dimensión, segunda dimensión, tercera dimensión, etc.

Que sucede si elegimos un conjunto donde sus elementos son todos matrices de orden 2, por ejemplo A={[■(a&b@c&d)],tal que a,b,c,d ∈ R}

Tomamos dos elementos cualquiera [■(3&2@7&1)]+[■(-2&8@1&-9)]=[■(1&10@8&8)] acaso este elemento no pertenece al conjunto A, luego se cumple la ley de la cerradura en la suma.

(-3) .[■(-4&2@7&2)]=[■(12&-6@-21&-6)]También ∈ A y se cumpla la cerradura en la multiplicación

Luego observará que también cumple con las propiedades anunciadas y por lo tanto resulta que este conjunto es un ESPACIO VECTORIAL y a sus elementos se les llama también VECTORES.

Ahora formamos otro conjunto donde todos sus elementos son polinomios de grado 2, por ejemplo B= {ax^2+bx+c /a,b,c∈ R}

(3x^2+2x+5)+(-2x^2+5x-6)=x^2+7x-1 Acaso este polinomio no pertenece al conjunto B, luego se cumple la ley de la cerradura en la suma.

(-3).( x^2-6x+7)=-3x^2+18x-21 , también ∈ B y se cumple la ley de cerradura en el producto.

Nuevamente al pasar por las propiedades observará que este conjunto es un espacio vectorial y a sus elementos debemos llamarlos vectores.

Si, ahora Ud. Forma un conjunto y en él se cumple la ley de la cerradura para la suma y el producto por un escalar, así como el cumplimiento de las propiedades, habrá formado un espacio vectorial y a sus elementos se le debe llamar vectores.

Todos los espacios vectoriales formados y por formar debemos agruparlos de manera general en un gran conjunto denotado “ v ” y los escalares reales o complejos en un cuerpo K.

Espacio vectorial es el conjunto v de elementos {u,v} los cuales cumplen la ley de la cerradura para la suma y la ley de la cerradura para el producto escalar, donde el escalar pertenece al cuerpo K, además de las propiedades anteriormente señaladas.

Los elementos de un espacio vectorial pueden ser matrices, polinomios, funciones, etc.

ALGEBRA EN EL ESPACIO N DIMENSIONAL.

Se ha trabajado desde 2 y 3 dimensiones en el curso de básica I; como se genera un vector desde dos puntos del espacio y cuál es su diferencia con el radio vector ( su origen es el centro de coordenadas).

Y (2,5) vector que nace en el punto (2,5) y termina en el punto (6,1)

(6.1)

X vector que nace en el centro de coordenadas por eso se llama radio vector para diferenciarlo del vector anterior, pero ambos son vectores.

Luego definimos al vector: (6,1) - (2,5) = (4,-4) es decir la diferencia de 2 radio vectores

Y al radio vector (6,1) – (0,0) = (6,1) que permite definir a un punto como un radio vector, de aquí se confirma que los elementos del conjunto R^2 se llaman vectores, para ser más precisos radio vectores.

Definimos el módulo de un vector como: (a,b) = √(a^2+b^2 ) , lo que más tarde se define como la distancia entre dos puntos en el espacio de dos dimensiones.

Z (6,5,7)

Vector que nace en (3,2,0) y termina en (6,5,7)

(0,0,0) X

Y (3,2,0)

Vector que nace en el centro de coordenadas (0,0,0) y termina en el punto (3,2,0). Por eso se llama radio vector.

Al igual que en dos dimensiones el vector: (6,5,7) – (3,2,0) = (3,3,7)

Y el radio vector (3,2,0) – (0,0,0) = (3,2,0), que coincide con el punto y confirma que los elementos del sistema en tercera dimensión R^3, son vectores, más precisamente radio vectores.

Definiendo el módulo de un vector (a,b,c) = √(a^2+b^2+c^2 ), que igualmente es la distancia entre dos puntos en tercera dimensión.

En general para el espacio n dimensional, también definimos al vector como la diferencia entre dos puntos y el radio vector; aquel que nace en el centro de coordenadas el módulo y/o la distancia entre dos puntos: ( a,b,c,…n) = √(a^2+b^2+c^2+⋯..+n^2 )

VECTOR UNITARIO.-

Aquel vector cuyo módulo es la unidad, pero si este no es unitario se puede convertir a unitario mediante el operador: u ̅=a ̅/|a ̅ | es decir dividiendo a cada elemento del vector entre el módulo del vector.

Ejemplo: a ̅ = (2,1,1,2,-3) ∈ R^5

Hallando su módulo |a ̅ |= √(2^2+1^2+1^2+2^2+〖(-3)〗^2 ) =√19

No es unitario luego convirtiendo el vector a unitario u ̅=(2/√19,1/√19,1/√19,2/√19,(-3)/√19)

Generalizando para el vector n-dimensional:

a ̅=(a_1,a_2,….a_n) si |a ̅ |=√b≠1⇒ u ̅=(a_1/√b,a_2/√b,…..a_n/√b)

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

a ̅+b ̅=(a_1,a_2,…a_n )+(b_1,b_2,…b_n )=(a_1+b_1,a_2+b_2,….a_n+b_n)

a ̅-b ̅=(a_1,a_2,…a_n )-(b_1,b_2,…b_n )=(a_1-b_1,a_2-b_2,….a_n-b_n)

PRODUCTO POR UN ESCALAR

K.a ̅=(〖Ka〗_1,〖Ka〗_2,…〖Ka〗_n )

PRODUCTO ESCALAR ENTRE VECTORES

a ̅ . b ̅=(a_1,a_2,…a_n ).(b_1,b_2,…b_n )=⋕ el producto escalar es un número.

PARALELISMO DE VECTORES:

a ̅∥b ̅ ⇒ (a_1,a_2,…a_n )=K(b_1,b_2,…b_n ) ambos vectores son múltiplos.

ORTOGONALIDAD DE VECTORES:

a ̅⊥b ̅ ⇒ (a_1,a_2,…a_n

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