Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar (V, +, *).

Si X y Y están en V y si α es un numero real, entonces escribiremos X + Y para la suma de X y Y; y α X para el producto escalar de α y X.

Antes de enumerar las propiedades de los vectores en un espacio vectorial hagamos un par de aclaraciones. Primero, si bien es cierto que es muy útil pensar en R^2 (espacio vectorial de 2 dimensiones – vectores en el plano) o en R^3 (espacio vectorial de 3 dimensiones – vectores en el espacio) cuando tratamos con algún espacio vectorial, es frecuente encontrarse con espacios vectoriales cuya forma es muy diferente de la de estos espacios tan familiares. Segundo, la definición se refiere a un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que usamos son reales. Es muy fácil definir un espacio vectorial complejo usando números complejos en lugar de números reales.

PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si x є V y y є V, entonces x + y є V (es decir, V es cerrado para la suma).

Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).

Existe un vector 0 є V tal que para todo x є V, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo).

Si x є V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como el inverso aditivo de x).

Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores).

Si x є V, y α es un escala, entonces αx є V (se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar).

Si x y y están en V y si α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva).

Si x є V y si α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx (segunda ley distributiva).

Si x є V y si α y β son escalares, entonces α (βx) = αβx (ley asociativa de la multiplicación por escalar).

Para todo vector x є V, 1x = x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).

SUBESPACIOS

Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en si un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.

Teorema 1 un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:

Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio.

Si x є H y y є H, entonces x + y є H.

Si x є H, entonces αx є H para todo escalar α.

Demostración.

Para demostrar que H es un espacio vectorial, debemos verificar que las propiedades (1) a (X) cumplen con las operaciones de la suma vectorial y la multiplicación escalar definidas en V. las dos operaciones de cerradura (propiedades 1 y 6) se cumplen por hipótesis. Puesto que los vectores en H también están en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo (propiedades 2, 5, 7, 8, 9 y 10) se satisfacen. Ahora si x є H entonces 0x = 0. Consecuentemente 0 є H y la propiedad (3) se cumple. Finalmente de la parte (2) tenemos que (-1)x є H para todo x є H de tal forma que la propiedad 5 también se cumple y con ello concluimos la demostración.

Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V, nos basta con verificar que:

x + y y αx están en H, siempre que x y y estén en H y α sea un escalar.

La demostración anterior contiene un resultado importante que debe mencionarse explícitamente:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Este resultado nos permitirá ver fácilmente

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