Estadistica. Cálculo

LIMITES

Es un punto al cual todos los otros puntos tratan de acercarse, pero no lo topan.

El límite de x cuando x tiende a 1 igual

[pic 1]

Vamos a enfocar los limites: por reemplazo, por factoreo, por racionalización e interpretando el dominio dado.

1. Por reemplazo

[pic 2]

[pic 3]

1. Por factoreo

[pic 4]

[pic 5]

Interpretación

Si luego de reemplazar el valor al cual tiende la x el resultado sale  este es un indicador que nos indica que algo tengo que hacer para encontrar el verdadero valor, en este caso tengo que factorar el numerador y simplificar al máximo luego que he simplificado vuelvo a reemplazar el valor de x al cual tiende el valor y se encuentra el valor verdadero.[pic 6]

[pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

                                                                             [pic 12][pic 11]

                                                                             [pic 13]

                                                                             [pic 14]

                                                                             [pic 15]

[pic 16]

EJEMPLO 2:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

1. Por racionalización

1. Completando la diferencia de cuadrados

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30][pic 31]

[pic 32]

[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

1. Completando la diferencia de cubos

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63][pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

1. Ejemplo

[pic 74]

[pic 75][pic 76][pic 77]

[pic 78]

[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90][pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94][pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

        [pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

Propiedades de los limites

1. [pic 116]

1. [pic 117]

1. [pic 118]

1. [pic 119]

EJEMPLO:

[pic 120]

Primera forma utilizando las propiedades:

[pic 121]

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

Segunda forma reemplazando:

[pic 126]

[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]

EJEMPLO 2:

[pic 131]

Primera forma:

[pic 132]

[pic 133]

[pic 134]

[pic 135]

[pic 136]

Segunda forma:

[pic 137]

[pic 138]

LIMITES LATERALES-LIMITES INFINITOS

[pic 139]

[pic 140]

[pic 141]

                              [pic 142]

[pic 143]

[pic 144]

                                 [pic 146][pic 145]

[pic 147]

EJEMPLO 1:

[pic 148]

[pic 149]

[pic 150]

[pic 151]

[pic 152]

[pic 153]

[pic 154]

[pic 155]

[pic 156]

[pic 157]

EJEMPLO 2:

[pic 158]

[pic 159]

[pic 160]

[pic 161]

[pic 162]

[pic 163]

[pic 164]

EJEMPLO 3:

[pic 165]

        [pic 166][pic 167]

[pic 168]

[pic 169]

[pic 170]

[pic 171]

EJEMPLO 4:

[pic 172]

[pic 173]

[pic 174]

 Es un indicador que en indica que algo tengo que hacer para encontrar la respuesta, ese algo es dividir tanto el numerador como denominador para la variable de mayor exponente.[pic 175]

[pic 176]

[pic 177]

[pic 178]

[pic 179]

[pic 180]

[pic 181]

[pic 182]

[pic 183]

[pic 184]

[pic 185]

[pic 186]

[pic 187]

EJEMPLO 5:

[pic 188]

[pic 189]

[pic 190]

[pic 191]

[pic 192]

[pic 193]

[pic 194]

[pic 195]

[pic 196]

[pic 197]

[pic 198]

[pic 199]

[pic 200]

[pic 201]

[pic 202]

[pic 203]

[pic 204]

EJEMPLO 6:

[pic 205]

[pic 206]

[pic 207]

[pic 208]

[pic 209]

[pic 210][pic 211][pic 212][pic 213][pic 214][pic 215]

[pic 216]

[pic 217]

[pic 218]

[pic 219]

[pic 220]

[pic 221]

[pic 222]

[pic 223]

[pic 224]

[pic 225]

Limites trascendentales algebraicos

En muchos casos, el cálculo de los limites se efectúa con ayuda de las importantes fórmulas que se dan a continuación:

1.- Si ; si existe entonces[pic 226]

[pic 227]

2.- Si  ; si existe entonces[pic 228]

[pic 229]

3.- Si  ; si existe entonces[pic 230]

[pic 231]

4.- Si  ; si existe entonces[pic 232]

[pic 233]

5.- [pic 234]

6.- [pic 235]

7.[pic 236]

EXISTENCIA DE LÍMITE

Si:

[pic 237]

[pic 238]

Cuando los dos límites son iguales los resultados son iguales en este caso “L”, entonces se dice que el límite existe.

[pic 239]

EJEMPLO 1

[pic 240]

[pic 241]

[pic 242]

Por ser los resultados del límite cuando x tiende a 2 por la derecha y x tienda a 2 por la izquierda iguales, entonces se dice que el límite existe y vale 7.

EJEMPLO 2

[pic 243]

Indique si el [pic 244]

[pic 245]

[pic 246]

Conclusión: Por el ser el valor de los límites G(x) iguales cuando x tiende a 1 por la derecha y por la izquierda, entonces se dice que el .[pic 247]

[pic 248]

EJEMPLO 3

[pic 249]

Indique si el [pic 250]

[pic 251]

[pic 252]

Conclusión: Por el ser el valor de los límites G(x) diferentes cuando x tiende a 1 por la derecha y por la izquierda, entonces se dice que el [pic 253]

[pic 254]

EJEMPLO 4

Si [pic 255]

Solución:

 ; por la derecha[pic 256]

 [pic 257]

 [pic 258]

Conclusión: A pesar de que el valor de los límites es igual ( se dice que el límite no existe.[pic 259]

CONTINUIDAD

Una función  es continua en x= c si cumple las siguientes condiciones:[pic 260]

1. Si [pic 261]
2. Si el [pic 262]
3. Si [pic 263]

EJEMPLO 1

[pic 264]

¿Indique si f(x) es continua en x=2?

1. Si [pic 265]

; porque la variable “x” no se encuentra dentro de raíz par o como denominador.[pic 266]

Por lo tanto x= 2 si es elemento del dominio.

[pic 267]

[pic 268]

[pic 269]

[pic 270]

...