Estadística Descriptiva

TEMA I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

1.Objeto de la Estadística. Tipos. Primeros conceptos.

2.Caracteres y variables estadísticas.

3.Frecuencias.

4.Tablas de frecuencias.

5.Representaciones gráficas.

6.Tratamiento de la información.

7.Medidas de centralización.

7.1. media aritmética.

7.2. moda.

7.3.mediana.

8.Medidas de posición.

8.1.Mediana.

8.2.Cuartiles.

8.3.Percentiles.

9.Diagrama de caja con bigotes (BOX-WHISKER).

10.Medidas de dispersión.

10.1.Rango.

10.2.Desviaciones respecto a la media.

10.3.Desviación media.

10.4.Varianza.

10.5.Desviación típica.

10.6.Coeficiente de variación.

11.Momentos centrales.

12.Medidas de asimetría

12.1.Coeficiente de Pearson.

12.2.Coeficiente de Fisher.

13.Medidas de apuntamiento o curtosis.

TEMA I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

1.OBJETO DE LA ESTADÍSTICA. TIPOS. PRIMEROS CONCEPTOS.

La Estadística es la ciencia que trata de proporcionar un método para el tratamiento sistemático de datos para inferir conclusiones de los mismos y tomar decisiones razonadas tras su análisis.

Tres ejemplos:

- Tallar a un regimiento de 900 soldados: Usaremos todos los elementos de la población.

- Tallar a los varones españoles entre 16 y 25 años: Haremos uso de una muestra.

- Comprobar la duración de 100 bombillas: Haremos uso de una muestra.

La estadística se divide en dos ramas principales:

DESCRIPTIVA: Examina todos los elementos de un conjunto, recuenta, ordena, clasifica, construye tablas gráficos etc. No utiliza la teoría de la probabilidad.

INFERENCIAL: Utiliza una muestra y saca conclusiones para la totalidad del conjunto, usa los resultados de la descriptiva y se apoya en el cálculo de probabilidades.

Veamos algunos conceptos importantes:

POBLACIÓN: o UNIVERSO es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto cuyo estudio nos interesa, a cada elemento se le denomina INDIVIDUO. Los individuos han de cumplir propiedades comunes.

MUESTRA: es un subconjunto de la población, se utiliza con el fin de reducir el campo de experiencias. Deben de ser representativas para lo que se hace un muestreo aleatorio, de forma que cualquier individuo tenga la misma probabilidad de estar en la muestra.

TAMAÑO DE LA MUESTRA: Es el número de individuos de la muestra.(Ejercicio, Anaya pág 201).

PARÁMETRO: Es una función definida sobre los valores numéricos de características medibles de una población.

ESTADÍSTICO: Es una función definida sobre los valores numéricos de una muestra.

2.CARACTERES Y VARIABLES ESTADÍSTICAS.

CARÁCTER ESTADÍSTICO: Es una propiedad que permite clasificar los individuos de una población, cada carácter puede tomar diferentes valores o modalidades.

Las modalidades han de estar bien definidas, es decir han de ser:

INCOMPATIBLES: un individuo no puede pertenecer a dos modalidades diferentes y EXHAUSTIVAS: cubren a todos los individuos de la población.

Los caracteres pueden ser:

CUALITATIVOS: Aquellos que no son medibles, se presentan como cualidades no medibles.(Sexo, color del pelo, estado civil)

CUANTITATIVOS: Son aquellos que se pueden medir. (Altura, peso, salario)

El conjunto de valores que puede tomar un carácter se denomina VARIABLE ESTADÍSTICA.

Las variables estadísticas cualitativas no toman valores numéricos.

Las variables estadísticas cuantitativas toman valores numéricos y pueden ser:

DISCRETAS: Cuando su dominio está formado por puntos aislados que puede ser un número finito de valores o un número infinito numerable.

CONTINUAS: Si su dominio es, en principio, un intervalo de la recta real.

Ejercicio. Explica si los siguientes caracteres son cualitativos o cuantitativos en la población de los alumnos de este instituto:

Sexo, edad, peso, número de hermanos, profesión del padre, estatura, años que ha estado matriculado, asignaturas en que se ha matriculado.

Cuando la variable es continua o discreta muy numerosa los datos suelen venir agrupados en intervalos que llamamos CLASES

Intervalos semiabiertos CERRADOS INFERIORMENTE de límite inferior Li y límite superior Ls.

Li y Ls conviene que sean números enteros.

El número de clases debe ser aproximadamente la raíz cuadrada del número de datos .

A ser posible los intervalos los tomaremos de igual amplitud.

Marca de clase es el punto medio de cada clase

la primera y la última clase pueden ser abiertas.

Ejercicio: Clasifica las alturas de los alumnos de tu clase.

3.FRECUENCIAS

Consideremos una población que consta de N individuos o unidades estadísticas. Sea k el número de modalidades definidas para un determinado carácter. Tendremos las modalidades M1, M2,..., Mk.

FRECUENCIA ABSOLUTA (ni) de la modalidad Mi, es el número de individuos que pertenece a dicha modalidad (número de veces que se repite). Como las modalidades son INCOMPATIBLES y EXHAUSTIVAS se cumple que:

FRECUENCIA RELATIVA (fi) de la modalidad Mi, es la proporción de individuos de la población que presentan

dicha modalidad.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Ni), de la modalidad Mi es la suma de las frecuencias absolutas anteriores a Mi más la de Mi (hasta la i-ésima modalidad)

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Fi), de la modalidad Mi es la suma de las frecuencias absolutas anteriores a Mi más la de Mi.

4.TABLAS DE FRECUENCIAS

MODALIDADES MARCA DE

CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA

RELATIVA ACUMULADA

Ejercicio: Elabora una tabla de frecuencias con la estatura de 40 adolescentes:

168,160,167,175,175,167,168,158, 149,160,178,166,158,163,171,162,

165,163,156,183,191,174,183,182, 179,193,188,180,181,173,157,168,

167,166,169,170,171,182,162,173.

5.REPRESENTACIONES GRÁFICAS

PARA CARACTERES CUALITATIVOS

• Diagrama de rectángulos

Están constituidos por varios rectángulos de base constante, uno por cada modalidad, y con altura proporcional a la frecuencia absoluta (sin más que cambiar la escala del eje de ordenadas obtendríamos la misma gráfica para frecuencias relativas)

Ejemplo

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo ni

A 6

B 4

AB 1

0 9

20

• Diagrama de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplo: En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

• Pictogramas

Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo

tamaño es proporcional a la frecuencia que representan.

En el ejemplo hemos representado el número de partidos ganados, perdidos o

empatados de un equipo.

• Cartogramas

Son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen indicados sobre las

distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el carácter que representan.

En el siguiente cartograma observamos la urbanización en el mundo atendiendo a

la industrialización.

• Pirámides de población

La pirámide de población es la representación gráfica de la distribución por edad y sexo de la población. Gráficamente se trata de un doble histograma de frecuencias.

La pirámide de edades es un histograma doble en el que se representa en la derecha la población masculina y en la izquierda la población femenina. En el eje de abscisas se representa los efectivos de población, y en el eje de ordenadas las edades. Como por regla general los efectivos más jóvenes son más numerosos que los viejos, ya que parte de la población muere, el aspecto general adopta una forma triangular o de pirámide. Pero esta es un forma ideal, la realidad modifica su forma, lo que se explica por motivos demográficos e históricos.

Tipos de pirámide de población

La pirámide de población, dependiendo de su forma, puede dar una visión general de la juventud, madurez o vejez de una población, y por lo tanto obtener consecuencias sociales de ello.

Según su perfil podemos distinguir tres tipos básicos de pirámides:

De población expansiva (llamada también pagoda): con una base ancha y una rápida reducción a medida que ascendemos. Es propia de los países del Tercer Mundo en plena transición demográfica con altas

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