FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Brayan RomeroResumen19 de Febrero de 2016
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2 FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Objetivo: El alumno aplicará las propiedades de los números y sus subconjuntos, para demostrar algunas proposiciones por medio del método de Inducción Matemática para resolver inecuaciones.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Giuseppe Peano propuso cinco postulados que caracterizan al conjunto de los números naturales.
Definición:
El conjunto de los números naturales es tal que:[pic 1]
- [pic 2]
El número uno es un número natural.
- Para cada existe un único , llamado el siguiente de [pic 3][pic 4][pic 5]
Si elegimos un número natural, sea cual fuere éste, a dicho número corresponde uno y sólo un número natural llamado su siguiente.
- Para cada se tiene que [pic 6][pic 7]
Este postulado arroja como consecuencia que el número uno es el primer número natural, puesto que no es el siguiente de ninguno.
- Si y , entonces [pic 8][pic 9][pic 10]
Dos números naturales cuyos siguientes sean iguales son, en realidad, el mismo número.
- Todo subconjunto de que tenga las propiedades:[pic 11][pic 12]
- [pic 13]
- implica que [pic 14][pic 15]
Es el mismo conjunto [pic 16]
El postulado nos dice que podemos alcanzar cualquier número natural partiendo del uno y recorriéndolos siguientes uno a uno hasta llegar al número natural deseado. Este postulado, conocido a menudo como “principio de inducción”.
Definición y propiedades: adición, multiplicación y ordenen los números naturales.
La Adición en [pic 17]
Definición:
- , [pic 18][pic 19]
- , siempre que esté definido.[pic 20][pic 21]
Ejemplo:
Obtener el valor de siguiendo paso a paso la definición anterior.[pic 22]
Propiedades:
:[pic 23]
- cerradura[pic 24]
- asociatividad[pic 25]
- conmutatividad[pic 26]
- si , entonces cancelación[pic 27][pic 28]
Inducción Matemática
Sea una proposición enunciada para todos los números naturales, y sea[pic 29]
[pic 30]
Para demostrar que es verdadera para todos los números naturales bastará con probar que ; para lo cual se hace lo siguiente:[pic 31][pic 32]
- Verificar que es verdadera (esto equivale a verificar que ).[pic 33][pic 34]
- Demostrar que si (HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA) es verdadera, entonces (POR DEMOSTRAR TESIS) es verdadera[pic 35][pic 36]
(esto equivale a demostrar que ).[pic 37]
Ejemplos:
Demostrar, por medio de inducción matemática, que:
[pic 38]
Demostrar, por medio de inducción matemática, que:
[pic 39]
Demostrar, por medio de inducción matemática, que:
[pic 40]
[pic 41][pic 42]
Demostrar, por medio de inducción matemática, que:
[pic 43]
Demostrar por medio de inducción matemática la validez de la siguiente expresión:
[pic 44]
La Multiplicación en [pic 45]
Definición:
- [pic 46]
- [pic 47]
Propiedades:
:[pic 48]
- cerradura[pic 49]
- asociatividad[pic 50]
- conmutatividad[pic 51]
- si , entonces cancelación[pic 52][pic 53]
Tomadas simultáneamente, las operaciones de adición y multiplicación satisfacen la siguiente ley distributiva.
Propiedades:
:[pic 54]
[pic 55]
Orden en [pic 56]
Definición:
Dados dos números naturales y , decimos que es menor que , lo que representamos mediante , si[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
[pic 62]
Los números naturales satisfacen la siguiente propiedad, llamada:
Ley de tricotomía
Si y son números naturales cualesquiera, entonces se verifica una y sólo una de las siguientes proposiciones:[pic 63][pic 64]
- [pic 65]
- [pic 66]
- [pic 67]
Representación gráfica de los números naturales.
Propiedades:
:[pic 68]
- [pic 69]
- [pic 70]
- [pic 71]
Definición:
Dados dos números naturales y , decimos que es mayor que , lo que representamos mediante , si [pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Solución de la ecuación:
[pic 78]
¿Solución?
¿Necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales?
La diferencia de números naturales
Definición:
Sea la ecuación:
[pic 79]
A su solución; es decir, al número que sumado a nos da como resultado , lo llamaremos la diferencia, y se presentan tres casos:[pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]
1) si ; la solución es un número natural.[pic 84]
2) si ; la solución es cero.[pic 85]
3) si ; la solución es un número entero negativo.[pic 86]
Definición del conjunto de los números enteros:
[pic 87]
Números enteros [pic 88]
La igualdad en [pic 89]
Definición:
Sean , dos números enteros, con . Entonces:[pic 90][pic 91][pic 92]
[pic 93]
Ejemplo:
Si y . [pic 94][pic 95][pic 96]
LA ADICIÓN EN Z
Definición:
Sean , dos números enteros, con . El número se define como:[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100]
[pic 101]
La adición en [pic 102] satisface todas las propiedades que establecimos para la adición en [pic 103]
Propiedades:
:[pic 104]
- cerradura[pic 105]
- asociatividad[pic 106]
- conmutatividad[pic 107]
- si, entonces cancelación[pic 108][pic 109]
- elemento idéntico[pic 110]
- elementos inversos[pic 111]
La sustracción en puede definirse a partir de la adición.[pic 112]
Definición:
Sean , el número se define como:[pic 113][pic 114]
[pic 115]
LA MULTIPLICACIÓN EN Z
Definición:
Sean [pic 116]dos números enteros, con [pic 117]. El número [pic 118] se define como
[pic 119]
Propiedades:
Para todo [pic 120]:
1) [pic 121] cerradura
2) [pic 122] asociatividad
3) [pic 123] conmutatividad
4) si [pic 124] y [pic 125], entonces [pic 126] cancelación
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