Numeros Reales

NÚMEROS REALES

Cálculo diferencial

DEFINICIÓN

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

CLASIFICACIÓN

PROPIEDADES

La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma tiene las siguientes propiedades:

• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los sumandos no altera la suma". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a + b = b + a

Ejemplos:

• 3.25 + 1.04 = 4.29, y también 1.04 + 3.25 = 4.29

• 15.87 + (–2.35) = 13.52, y también –2.35 + 15.87 = 13.52

• + = = , y también + = =

• Asociatividad. Si se tienen más de dos sumandos, da igualcuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres númerosreales, la asociatividad dice que:

a + (b + c) = (a + b) + c

Veamos otras propiedades de la suma:

• Elemento neutro. El número real 0 sumado a cualquiernúmero lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces

a + 0 = a

Ejemplos:

• 8763.218 + 0 = 8763.218

• 0 + (–56.41) = –56.51

• + 0 =

• Elemento inverso. Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces

a + (–a) = 0

Ejemplos:

• El inverso aditivo de 87.36 es –87.36, porque 87.36 +

(–87.36) = 0

• El inverso aditivo de –4.13 es 4.13, porque –4.13 + 4.13 = 0

• El inverso aditivo de es - porque + (- ) = 0

La resta

La resta es la operación inversa de la suma, es una operaciónentre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar; por ejemplo:

12.3 – 18.7 = –6.4

minuendo sustraendo resta

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de losnúmeros. Las siguientes reglas pueden recordarle cómo es esto:

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo. Por ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.5

• Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendoes menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo. Por ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.5

• Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos. Por ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.3

• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo. Por ejemplo:

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Por ejemplo:

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3

–28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 = 11.2 – 28.7 = –17.5

Observe que en el último ejemplo hicimos varias transformaciones. Al efectuar la conversión -28.7 – (–11.2) = –28.7 + 11.2 utilizamos el hecho de que restar un número negativo (11.2) es lo mismo que sumar su positivo. Después consideramos la suma entre dos números, –28.7 y 11.2, y por la conmutatividad de la suma la expresamos como 11.2 + (-28.7). Posteriormente utilizamos el hecho de que sumar un número negativo (-28.7) es lo mismo que restar su positivo, por lo que 11.2 + (–28.7) = 11.2 – 28.7. Finalmente, tenemos una resta en que el minuendo y el sustraendo son positivos, así que efectuamos la resta y como 28.7 es mayor que 11.2 le ponemos al resultado signo negativo. Aunque la resta está muy emparentada con la suma, no tiene todas las propiedades de la suma. Por ejemplo, la resta no es una operación conmutativa:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de

31.2 – 52.4 = –21.2

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación de números reales es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos factores. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden multiplicar entre sí. Al efectuar multiplicaciones hay que tener cuidado con los signos:

• El producto de dos números de igual signo siempre es positivo;

• El producto de dos números de distinto signo siempre es negativo.

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

• Conmutatividad. La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a x b = b x a

Ejemplos:

• 3.25 x 1.04 = 3.38, y también 1.04 x 3.25 = 3.38

• 15.87 x (–2.35) = –37.2945, y también –2.35 x 15.87

= –37.2945

• x = = , y también x = =

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