FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

X   CAPITULO II

FUNCIONES VECTORIALES

1. Funciones vectoriales de variable real

2. Límite de funciones

3. Curvas en el espacio

4. Derivadas e integrales de funciones vectoriales

5. Movimiento a lo largo de una curva

1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

[pic 1]

Definición: Estas son funciones cuyo dominio es un subconjunto de R y cuyo conjunto de llegada es el espacio vectorial Rn, es decir, una función de variable real es una función de la forma:

r: DCR→ Rn

Nos concentraremos en R3 estas funciones se expresan así: r: D→R3 o

r (t)= f (t) i + g (t) j +h (t) k o también r(t) = 〈𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)〉

[pic 2]

Algunos ejemplos de curvas en el espacio correspondientes a funciones vectoriales de variable real

[pic 3]

Escalera central del castillo de Chambord

[pic 4]                                           [pic 5]

Las funciones f, g, h son las componentes de la función r.

Si el dominio de las componentes no se da en forma explícita, se entiende que: Dom(r) = Dom f(t) ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔(𝑡) ∩ 𝐷𝑜𝑚ℎ(𝑡)

Ejemplo1.:

Sea 𝑟(𝑡) = 〈𝑡3,        1[pic 6]

√1− 𝑡2

, 𝑙𝑛𝑡〉

1. Determinar las funciones componentes
2. Hallar el dominio de la función vectorial

[pic 7]

Domf(t) = R:,    [pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Límites de funciones vectoriales de variable real:

Si r(t) = 〈𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)〉 entonces:

lim 𝑟(𝑡) = 〈lim 𝑓(𝑡), lim 𝑔(𝑡), lim ℎ(𝑡)〉

𝑡→𝑎

Siempre que existan lim 𝑓(𝑡), lim 𝑔(𝑡), lim ℎ(𝑡)

Ejemplo:

Si     hallar el [pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Lim(t) = [pic 25]

[pic 26]

Si u(t)= 〈2𝑒𝑡, 𝑡3, 𝑡𝑎𝑛𝑡〉 y  [pic 28][pic 27]

𝑡

ACTIVIDAD

1. Hallar el dominio de la función vectorial dada

[pic 29]

1. Hallar el [pic 30]
2. Hallar la derivada de [pic 31]
3. Hallar la integral de [pic 32]

...