Funciones Vectoriales De Una Variable Real

3 Funciones Vectoriales De Una Variable Real

Funciones vectoriales de una variable real

Usualmente cualquier vector adquiere la forma general F=A + B + C . Cuando los valores de A, B y C dependen de un solo factor, sea t, entonces la ecuación puede ser escrita como F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

Un vector de esta forma es llamado función vectorial de una variable real,porque el valor del vector depende de una sola variable, aquí esta variable es t. El valor de la función variará con cada cambio en el valor de t.

Los valores de x(t), y(t) y z(t) se llaman componentes o funciones componentes de F(t). Algunas propiedades de la función principal del vector dependerán de las funciones componentes.

I à Si todas las funciones componentes de una función vectorial F(t)son continuas, sólo entonces la función F(t) es continua. I Ià Para? encontrar la derivada de una función dada, necesitamos encontrar la derivada de los componentes individuales.

Esto es, para F(t) = x(t) + y(t) + z(t)

F’(t) = x’(t) + y’(t) + z’(t)

Ejemplo: F (t) = 3t3i+sint j + etk

Entonces, F’ (t) = 9t2i+cost j + etk

A medida que los valores de ‘t’ cambien, los componentes formarán una curva en un plano 3D, que será ellugar de los puntos x(t), y(t) e z(t). Esto se ilustra con la siguiente figura-

En la figura anterior, a medida que cambia el valor de t en F(t), podemos obtener diferentes valores para los vectores, los cuales son representados como (x(t), y(t), z(t)).

Una función valorada vectorial de dos dimensiones, esto es, una función vectorial de una variable, se denota como f: R  R2. Por ejemplo, para algúnnúmero real, sea k, una función vectorial de una variable en dos dimensiones puede ser escrita como f(k) = (2k,-k). Aquí, en lugar del 2 puede utilizarse otra constante.

Una función vectorial de dos dimensiones toma un plano y los vectores unitarios que denotan el plano son y . Esto significa que el rango de tal función esbidimensional.

Un concepto interesante en relación a las funciones vectoriales es que incluso un vector multidimensional puede ser transformado en un vector de dos dimensiones. Supongamos una función f(x, y, z). Una manera de convertirla en una función de dos dimensiones es (x – y, x22/ z). Esto en cualquier caso no la convertiría en una función de una variable.

Una función vectorial de una variabletiene su dominio sobre el conjunto completo de los números reales, esto es, R. Sin embargo, no ocurre lo mismo en el caso de todas las funciones. Muchas de las funciones tienen su dominio limitado a sólo unos pocos números reales. Por tanto, el dominio de estas funciones se escribe como,

f: S R  R2

Aquí f es la función dada, y S representa el dominio de la función, la cual es un subconjunto de los números reales. Por ejemplo, sabemos que el dominio de la función log son todos los números reales mayores que cero, por consiguiente, el dominio de la función log(x) + x sería S = = (0, ).

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3.1Definición De Función Vectorial De Una Variable Real

Definición de Funciones Vectoriales de Variables Reales

Las funciones vectoriales, también conocidas con el nombre de funciones valoradas vectoriales, son funciones matemáticas cuyo dominio es un conjunto de números reales y su rango es un conjunto infinito de vectores dimensionales. La notación convencional para tal función es,

De la ecuación anterior está claro que el rango de tal función es R3 o Rm. La interpretación de esta oración sería que la función está asociada con tres o más funciones de variables reales f1, f2,f3 … fm. Por tanto, se puede escribir de tal manera que,

Una función vectorial puede tomar como valor de entrada tanto cantidades escalares como cantidades vectoriales, pero el resultado siempre será una cantidad vectorial. Como podemos ver aquí el rango de dicha función está infinitamente extendido, pero no afecta el rango del dominio de la función de alguna manera. Dado que el rango de la función es infinito, por tanto puede ser dividido sus componentes constitutivos. Por ejemplo, si el rango es de dos dimensiones entonces el rango se puede dividir en sus componentes como,

Y si el rango es de tres dimensiones, entonces puede ser dividida en sus componentes como,

Un punto digno de mención es que el dominio de la función vectorial es la intersección de los dominios de todas las funciones constituyentes que en su totalidad forman el rango de la función vectorial.

Después de haber leído la definición de una función valorada vectorial, es importante saber, ¿por qué surgió la necesidad de desarrollar funciones vectoriales cuando ya teníamos otras funciones con nosotros? Una función vectorial representa principalmente una función que varía con respecto al tiempo.

Tomemos el ejemplo de una abeja. La trayectoria que esta traza mientras vuela puede ser descrita en términos de variables de x e y en un espacio tridimensional, pero esta no nosproveería ninguna información con respecto al tiempo de vuelo. En otras palabras, tal función solo nos daría información sobre el camino recorrido por la abeja.

Así que imaginemos que la abeja comenzó su vuelo en la posición r1. Por tanto el vector de posición que describe la posición de inicio de la abeja puede ser representado como,

Ahora, después de un tiempo esta abeja se detiene en la posición r2 sobre el plano x-y. En consecuencia, podemos utilizar otro vector para representar la posición final de la abeja como,

Entonces, el camino recorrido por esta abeja sería una serie de vectores que comienzan en r1 y terminan en r2. Estos vectores son los vectores de posición, que representan sólo la punta de la flecha del vector en el diagrama anterior. Y a medida que pasa el tiempo, los vectores cambian de r1 a r2.

Aquí los vectoresr1 y r2 son iguales, de hecho el vector r1cambia con el tiempo para tomar la posición de r2. Es por esto que una

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