Ejercicios de funciones de variable real

Ejercicios de Funciones de Variable real

Halla el dominio de las siguientes funciones.

1. 7 /x2 − 5 (b) 1 x3 + 1 (c) x − 1 /x4 − 3x2 − 4 (d) x 3 − 6x 2 + 4x + 8 x3 − x2 − 9x + 9 (e) √ x2 – 4/ x2 − 2x

Soluciones

1. f(x) = 7/ x2 – 5

La función f(x) es una función racional, por lo que su dominio será todo el conjunto de números reales salvo los que anulen el denominador.

Por tanto, hemos de ver que valores anulan el denominador:

x 2 − 5 = 0

x 2 − 5 = 0 ⇒ x 2 = 5 ⇒ x = ± √ 5

x 2 − 5 = 0 ⇒ x 2 = 5 ⇒ x = ± √ 5 ⇒ x = − √ 5 o x = √ 5

Luego, el dominio es: Dom f(x) = R −  − √ 5, − √ 5}

1. f(x) = 1/ x 3 + 1

La función f(x) es una función racional, por lo que su dominio será todo el conjunto de números reales salvo los que anulen el denominador.

Por tanto, hemos de ver que valores anulan el denominador:

x 3 + 1 = 0

x 3 + 1 = 0 ⇒ x 3 = −1

x 3 + 1 = 0 ⇒ x 3 = −1 ⇒ x = √3 −1

x 3 + 1 = 0 ⇒ x 3 = −1 ⇒ x = √3 −1 ⇒ x = −1

Luego, el dominio es: Dom f(x) = R − {−1}

1. f(x) = x – 1/ x4 − 3x2 – 4

La función f(x) es una función racional, por lo que su dominio será todo el conjunto de números reales salvo los que anulen el denominador.

Por tanto, hemos de ver que valores anulan el denominador:

Tenemos que la ecuación x 4 − 3x 2 − 4 = 0 es bicuadratica

Hacemos x 2 = t

Hacemos x 2 = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0

Hacemos x 2 = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇒ t = 3 ± √9 + 16 2 = 3 ± 5 2

Hacemos x 2 = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇒ t = 3 ± √9 + 16 2 = 3 ± 5 2

Hacemos x 2 = t ⇒ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇒ t = 3 ± √9 + 16 2 = 3 ± 5 2 ⇒ ( t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 t = −1 ⇒ x 2 = −1 ⇒ no solución real

Luego, el dominio es: Dom f(x) = R − {−2, 2}

1. f(x) = x 3 − 6x 2 + 4x + 8/ x 3 − x 2 − 9x + 9

La función f(x) es una función racional, por lo que su dominio será todo el conjunto de números reales salvo los que anulen el denominador.

Por tanto, hemos de ver que valores anulan el denominador, x 3 − x 2 − 9x + 9 = 0 . Resolvemos aplicando la regla de Ruffini:

3 − x 2 − 9x + 9 = (x − 1)(x 2 − 9) = 0 ⇒    x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x 2 = 9 ⇒ x = ±3

Luego, el dominio es: Dom f(x) = R− {−3, 1, 3}

1. f(x) = √ x 2 – 4/ x 2 − 2x

Como f(x) = g(x)/ h(x) , el dominio de f(x) son los valores de x en los que g(x) y h(x) están definidas a la vez, excepto aquellos en los que h(x) se anula.

g(x) = p x2 − 4 ⇒

g(x) = p x2 − 4 ⇒ El dominio de g(x) son los valores de x tal que x 2 − 4 ≥ 0.

g(x) = p x2 − 4 ⇒ El dominio de g(x) son los valores de x tal que x 2 − 4 ≥ 0.

g(x) = p x2 − 4 ⇒ El dominio de g(x) son los valores de x tal que x 2 − 4 ≥ 0. Buscamos los ceros x 2 − 4 = 0

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