Factorización LU

SOLUCIONES DE ECUACIONES

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU

RUBÉN ANDRÉS LEÓN CONTRERAS

DOCENTE:

JOSE LUIS CONSUEGRA GONZALEZ

FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA

INGENIERIA CIVIL

VALLEDUPAR-CESAR

2021

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU

La factorización LU, descomposición LU, o también factorización matricial. Es capaz de convertir una matriz “A” en el producto de dos matrices triangulares, además resulta ser muy útil cuando se quiere dar solución al mismo tiempo a varios sistemas de ecuaciones que discrepan en la parte no homogénea.

Entonces una matriz cuadrada A ∈  (R) posee una descomposición LU cuando hay matrices L, U ∈  (R) triangular inferior (lower) y triangular superior (upper) respectivamente (de ahí sus siglas LU), de tal forma que . Dicha descomposición permite dar solución de forma rápida a sistemas de ecuaciones determinados por  por medio de los dos algoritmos de bajada y de subida.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

La descomposición LU se define de la siguiente manera:

• Si se tiene un sistema de ecuaciones con n ecuaciones y n incógnitas.

[pic 6]

Escribiéndolo de forma matricial quedaría:

[pic 7]

Entonces el sistema  se puede resolver usando , y  se escribiría de la forma .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

En donde es posible agregar una nueva variable  [pic 13]

[pic 14]

Pudiéndose resolver por medio del método de sustitución hacia atrás, debido a que la matriz U es triangular superior.

Como ya se conoce las componentes del vector c, se puede obtener un nuevo sistema .[pic 15]

[pic 16]

Y se puede resolver dicho sistema por el método de sustitución hacia adelante, ya que la matriz L es triangular inferior.

EJEMPLO MATEMATICO.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Escribiéndolo en su forma matricial quedaría:

[pic 20]

Se descompone la matriz A en el producto LU.

[pic 21]

Se agrupa el producto UX.

A=Lc=B

[pic 22]

Ahora se procede a usar el método de sustitución hacia adelante para resolver C:

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Sabiendo las componentes de C, se resuelve Ux=C con el método de sustitución hacia atrás para determinar X.

[pic 26]

Su solución sería:

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

EJEMPLO DE APLICACIÓN.

Al construir un edificio, se requieren 4800 𝑚3 de arena, 5810 𝑚3 de grano fino y 5690 𝑚3 de grano grueso. Las canteras de donde se extraerá el material tienen la composición que se describe a continuación:

[pic 30]

¿Cuántos metros cúbicos deben transportarse desde cada cantera para cumplir con los requisitos?

SOLUCIÓN:

[pic 31]

Se escribe en forma de matriz

   [pic 32][pic 33]

Se uso la herramienta computacional de OCTAVE ONLINE.

Primero se inserta la matriz A en el programa.

[pic 34]

Donde se insertan los comandos, escribimos la siguiente instrucción.

...