FACTORIZACION

EJEMPLO 3.2. Uso de la factorización LU para calcular el determinante de una matriz 4x4

2 3 2 4

4 10 -4 0

-3 -2 -5 -2

-2 4 4 -7

Calcule det A, donde A=

SOLUCION:

Del ejemplo 2.7.1 en la página 147, A=LU, donde

2 3 2 4

0 4 -8 -8

0 0 3 9

0 0 0 -49

U=

Por lo que det A= det U=(2)(4)(3)(-49)=-1 146.

Si A no se puede reducir a la forma triangular sin hacer permutaciones, por el teorema 273 en la página 151, existe una matriz permutación P tal que

PA=LU

Es sencillo probar que si Pes una matriz permutación, entonces det P =±1 (vea el problema 53 der esta sección). Entonces

det PA= det LU

det P det A= det L det U= det U

±det A= det U

det A=±det U

si PA=LU, donde P es una matriz permutación y L y U son como antes, entonces

det A=det⁡U/det⁡P = ±detU

Ejemplo 3.2.3. Uso de la factorización PA=LU para calcular el determinante 3x3

0 2 3

2 -4 7

1 -2 5

Encuentre det A, donde A=

SOLUCION

Del ejemplo 2.7.3 en la página 151, se encontró que PA=LU, donde

0 0 1

1 0 0

0 1 0

P=

1 -2 5

0 2 3

0 0 -3

y U=

Ahora bien, det P=1 y det U=(1)(2)(-3), de maneras que det A= (-6)/1=-6.

Se establecerá un paso importante teorema sobre determinantes.

TEOREMA 3.2.4 det AT=det A

Demostración

Suponga que A=LU. Entonces A^T=(LU)^T=U^T L^T por el teorema 2.5.1

ii) en la pagina 128. Se calcula

det A=det L det U= det U

det A^T= det〖 U〗^Tdet〖 L〗^T=det〖 U〗^T=det⁡ U= det⁡〖A 〗

El último paso se basa en la transpuesta de una matriz triangular superior es triangular inferior y viceversa, y en hecho de que obtener la transpuesta no cambia las componentes de la diagonal de una matriz.

Si A no se puede escribir como LU, entonces existe una matriz permutación P tal que PA=LU. Por lo que se acaba de probar,

det PA= det 〖(PA)〗^T=det 〖(A〗^T P^T)

y por el teorema 3.2.1,

det P detA= det 〖PA〗^=det 〖(A〗^T P^T)= detAT det PT

No es complicado probar (vea el problema 54 de esta sección) que si P es una matriz permutación, entonces det P= det PT. Como, det P det PT =±1 se concluye que det A= det AT

Ejemplo 3.2.14. Utilice las propiedades de los determinantes para calcular un determinante 4x4

1 3 5 2

0 -1 3 4

2 1 9 6

3 2 4 8

Calcule A=

SOLUCION (Vea el ejemplo 3.1.7, página 180)

Ya existe un cero en la primera columna, por lo que es más sencillo reducir otros elementos de la primera columna cero. Se puede continuar la reducción buscando una matriz triangular.

Se multiplica el primer renglón por -2 y se suma al tercer renglón; se multiplica el primer renglón por -3 y se suma al cuarto

1 3 5 2

0 -1 3 4

0 -5 -1 2

0 -7 -11 2

A=

Se multiplica el segundo renglón por -5 y -7 y se suma el tercer y cuarto renglones, respectivamente.

1 3 5 2

0 -1 3 4

0 0 -16 -18

0 0 -32 -26

=

Se factoriza -16 del tercer renglón (utilizando propiedad 2)

1 3 5 2

...