Solución Por Factorización Y Complexion De Cuadrados

ENSAYO

Ecuaciones de segundo grado:

Solución por factorización y Compleción del cuadrado

Por

Fulanito

México, a 30 de febrero de 2015

Introducción

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El álgebra es una herramienta útil en la vida cotidiana de toda persona, ya que sin ella no sabríamos muchas de las cosas que pasan a nuestro rededor. Muchos de nosotros no lo sabemos pero usamos a toda hora el álgebra sin darnos cuenta, por ejemplo, las personas que fueron a la tienda y compraron unas frituras y un refresco, pero solo saben cuánto costaban las frituras y cuanto traían en total, en base a esto hacen una deducción rápida y sacan el valor de la soda, esto es algebra, aunque no lo creamos son cosas tan sencillas. El álgebra nos ayuda a resolver estos problemas de la vida cotidiana en la forma que hace que planteamos y tengamos distintas formas de resolver un problema ya sea sencillo como el ejemplo anterior o uno de mayor dificultad o utilidad, como por ejemplo si se quiere saber en una fábrica cuantos lotes de algún producto realiza por un día, un mes, un año, etc.

En el álgebra, una de las expresiones más comunes son las ecuaciones, que se definen como una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Así: 5x + 2 = 17

es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x.

Dentro de este mundo que son las ecuaciones, encontramos que hay algebraicas, trascendentales, diferenciales, integrales y funcionales; nosotros solo atenderemos las algebraicas que se subdividen en difomaticas, racionales, de primer grado (lineales) y de segundo grado (cuadráticas); más específicamente nos enfocaremos en sólo un tipo de ecuación, la cuadrática.

La ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así:

〖4x〗^2+7x+6=0

es una ecuación de segundo grado.

Como hemos visto en el curso, a lo largo de los años los matemáticos han desarrollado diferentes técnicas para este tipo de ecuaciones, estás técnicas son:

Por formule general

Solución por factorización

Compleción de cuadrado

En este ensayo se profundizará en el método de solución por factorización y en la compleción de cuadrado.

Solución por factorización

Una ecuación cuadrática se puede ver de la siguiente manera:

x^2-7x+12=0

En este caso, para resolverla, utilizando el método de la factorización, lo que debemos de hacer, es tomarla como si esta fuera un trinomio.

Lo que se debe hacer al tener el trinomio, es abrir dos paréntesis, en los cuales vamos a colocar como primer término de cada uno, a la raíz de los exponentes; en este caso, en x^2 y -7x su raíz es x.

x^2-7x+12

(┤)(┤)

(x)(x)

Para colocar los signos, debemos seguir la regla que nos dice: el signo del primer factor, es el signo del segundo término; el signo del segundo factor, es el producto del segundo término por el tercer término.

En este caso, nos quedaría como:

(x- )(x- )

El siguiente paso para factorizar, es localizar dos números que sumados me den el valor del segundo término, y multiplicados me den el valor del tercer término.

En este caso, necesitamos encontrar dos números que sumados nos den 7, y multiplicados nos den 12.

Estos números son el 3 y el 4, ya que: 3+4=7 y (3)(4)=12

Por lo tanto, nuestra expresión queda de la siguiente forma:

(x-3)(x-4)=0

Ahora, lo siguiente es igualar a cero cada expresión, para así resolverlas por separado y obtener los dos valores de las incógnitas x.

x-3=0x-4=0

x=0+3 x=0+4

x_1=3x_2=4

Por lo tanto, los valores soluciones para la expresión x^2-7x+12=0 son x_1=3 y x_2=4.

Sustituyendo los valores, podemos comprobarlo:

x^2-7x+12=0 x^2-7x+12=0

3^2-7(3)+12=0 4^2-7(4)+12=0

9-21+12=0 16-28+12=0

0=0 0=0

Un segundo caso para este método, sería encontrarnos con una ecuación de la forma:

〖4x〗^2+9=-15x

Como podemos observar, la ecuación no está igualada a cero, por lo que hay que pasarla a la forma: a^2+bx+c=0 , por lo que pasaremos el -15x del otro lado del signo para así igualarla a cero:

〖4x〗^2+9+15x=0

Ordenamos los términos de manera algebraica:

〖4x〗^2+15x+9=0

Inmediatamente podemos observar que no podemos usar el medio de factor común para factorizar, por lo que tomaremos el valor que tiene la x elevada al cuadrado (4), para multiplicar toda la ecuación; esto siguiendo una ley de la igualdad, que nos dice que al multiplicar una igualdad por el mismo multiplicador por cada uno de sus lados, la igualdad permanece. Por lo que nuestra ecuación quedará de la siguiente manera:

〖4x〗^2+15x+9=0

(4)(〖4x〗^2+15x+9)=(0) (4)

4(〖4x〗^2 )+4(15x)+4(9)=0(4)

Ahora, tenemos 〖4(4x〗^2), la cual no resolveremos, sino que solo la djaremos expresada; al dejarl expresada, la podemos escribir como una potencia, es decir que quedaría como 4^2 x^2.

En el segundo término 4(15x) lo que haremos es aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación, es decir que vamos a intercambiar los números, de tal forma que vamos a tener: 15(4x).

El tercer término se realiza como una multiplicación normal. Por lo que tendremos que:

4^2 x^2+15(4x)+36=0

Ahora, en el primer término, aplicaremos la propiedad llamada “producto de potencias con igual exponente” ( a^n*b^n=(〖ab)〗^2), por lo que:

〖(4x)〗^2+15(4x)+36=0

Una vez haciendo esto, podemos observar que tenemos una expresión elevada al cuadrado y una elevada a la 1 potencia. Por lo que podemos aplicar la fórmula del trinomio de la forma x^2+bx+c=0 , donde los términos potenciados tienen la misma raíz.

Desde este punto, aplicaremos los pasos del ejercicio anterior. Abriremos dos paréntesis y colocaremos la raíz común de la expresión como primer término de cada paréntesis; después aplicamos la regla que nos dice que el signo del primer factor, es el signo del segundo término; el signo del segundo factor, es el producto del segundo término por el tercer término.

Al tener esto, se deben buscar dos números que sumados me den el valor del segundo término, y multiplicados me den el valor del tercer término.

En este caso, los números son: 12 y 3(12+3)=15 (12)(3)=36

〖(4x)〗^2+15(4x)+36=0

(┤)(┤)

(4x )(4x )=0

(4x+12)(4x+3)=0

Finalmente igualamos a cero cada expresión, para así resolverlas por separado y obtener los dos valores de las incógnitas x:

4x+12=04x+3=0

4x=0-12 4x=0-3

4x=-124x=-3

x=-12/4 x=-3/4

x_1=-3x_2=-3/4

Compleción del cuadrado

Se llama método de la compleción de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

〖(ax+b)〗^2=n

en la cual el primer miembro de la ecuación〖(ax+b)〗^2=n, es el cuadrado de la suma de un binomio.Partiendo de una ecuación del tipo:

x^2+bx+c=0

Por ejemplo, la ecuación x^2+8x=48 , que también puede escribirse

x^2+8x-48=0.

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2

Que es lo mismo que:

(ax+b)(ax+b)

ó

〖(ax)〗^2+2axb+b^2

En nuestro ejemplox2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2:(8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio

( a2 + 2ab + b2)

el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término:

(42 = 16)

amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos:

x^2+8x+16=48+16

x^2+8x+16=64

La cual factorizando, se puede escribir como sigue:

(x+4)(x+4)=64

〖(x+4)〗^2=64

El siguiente paso, es extraer la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación, por lo que tendremos:

√(〖(x+4)〗^2 )=√64

Por lo que nos queda:

x+4=8yx+4=-8

El -8 es porque 〖(-8)〗^2=64

Entonces, realizando la ecuación resultante, tenemos que:

x+4=8 x+4=-8

x=8-4 x=-8-4

x_1=4 x_2=-12

Al final, simplemente comprobamos las cantidades resultantes de x, para conocer si nuestra operación esta correcta:

x^2+8x-48=0 x^2+8x-48=0

4^2+8(4)-48=0 〖(-12)〗^2+8(-12)-48=0

0=0 0=0

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Conclusiones

Hemos analizado ya los métodos para la resolución de ecuaciones de segundo grado, en el curso pudimos observar cómo se resuelven a base del uso de una sola fórmula, que lleva por nombre: Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado. Y ahora observamos que existen otros dos métodos que van por otro tipo de camino sin embargo llegan al mismo resultado, que son el método de la factorización y la compleción del cuadrado.

A simple vista, es sencillo saber que el método más rápido para llegar a la solución es el uso de la formula general, pues solo requiere que introduzcamos los datos correspondientes dentro de la fórmula y resolverla.

Pero no podemos dejar de lado los métodos que hemos analizado en este ensayo; que a pesar de conllevar una elaboración más compleja, no dejan de ser efectivos. Son métodos a los cuales les podemos atribuir una mayor certeza por las operaciones que se realizan en ellos.

A lo que me refiero en esto, es a que usando la formula general, obtenemos un resultado correcto, no obstante, nuestro conocimiento del surgimiento de cada valor de x es nulo. Debido a que la formula ya está hecha y se sigue paso a paso.

Por el contrario, estos métodos, no solo nos hacen llegar al mismo resultado que el de la formula general, sino que además nos dan un claro conocimiento del surgimiento d los valores de x. Es decir, que conocemos de donde surgen los valores de las incógnitas.

Por último, he de decir que el álgebra es útil principalmente para agilizar tu mente aunque aparentemente pienses que no te sirve de nada en tu vida diaria, es importante porque te ayuda a deducir y procesar toda la información que recibes durante el día de tal forma que puedas sacar conclusiones y resolver problemas

El álgebra no es una asignatura solamente mecánica es una parte de las matemáticas que se basa en la incógnita, es la que le da forma a la matemática de las ecuaciones.

Referencias

Baldor, Aurelio. (1997). Algebra. México: Publicaciones Cultural. p.p (5, 122,446)

Tutor Expertos. (10/Abril/2013). Ecuaciones cuadráticas completas: método de factorización. 23/Mayo/2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=tQ21LMsLq2s

Rojas Bernal Alfredo. (17/Julio/2013). Ejercicios de ecuaciones cuadráticas por factorización. 23/Mayo/2105, de YouTube Sitio web:https://www.youtube.com/watch?v=eG6fXILN9dk

Velázquez Montoya Gerardo. (2012). Ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas). 24/05/2015, de Profesor en línea Sitio web: http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html

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