Gauss – Jordán

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1.

SOLUCIÓN:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

1 -4 -7 1

5 -7 -1 5

-4 1 6 -4

De la filas 2 y 3 sustraigamos la fila 1 multiplicada respectivamente por 5 y -4

1 -4 -7 1

0 13 34 0

0 -15 -22 0

Dividamos la fila 2 entre 13

1 -4 -7 1

0 1 34/13 0

0 -15 -22 0

De las filas 1 y 3 sustraemos la fila 2 multiplicada respectivamente por -4 y -15

1 0 45/13 1

0 1 34/13 0

0 0 224/13 0

Dividamos la fila 3 entre 224/13

1 0 45/13 1

0 1 34/13 0

0 0 1 0

De las filas 1 y 2 sustraigamos la fila 3 multiplicada respectivamente por 45/13 y 34/13

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

Resultado:

x = 1

y = 0

z = 0

1.2.

SOLUCIÓN:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

3 -4 -7 11

5 -7 -1 -18

Dividamos la fila 1 por 3

1 -4/3 -7/3 11/3

5 -7 -1 -18

De la fila 2 sustraigamos la 1 línea multiplicada por 5

1 -4/3 -7/3 11/3

0 -1/3 32/3 -109/3

Dividamos la fila 2 por -1/3

1 -4/3 -7/3 11/3

0 1 -32 109

De la fila 1 sustraigamos la fila 2, multiplicada por -4/3

1 0 -45 149

0 1 -32 109

Resultado

x -45z = 149

y -32z = 109

1.3.

SOLUCIÓN:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

1 -4 -7 4 -11

5 -7 -1 -5 -8

-4 1 6 -1 -7

6 -1 -1 -1 -2

De las filas 2; 3; 4 sustraigamos la fila 1 multiplicada respectivamente por 5; -4; 6

1 -4 -7 4 -11

0 13 34 -25 47

0 -15 -22 15 -51

0 23 41 -25 64

Dividamos la fila 2 por 13

1 -4 -7 4 -11

0 1 34/13 -25/13 47/13

0 -15 -22 15 -51

0 23 41 -25 64

De las filas 1, 3, 4 sustraigamos la fila 2 multiplicada respectivamente por -4, -15 y 23

1 0 45/13 -48/13 45/13

0 1 34/13 -25/13 47/13

0 0 224/13 -180/13 42/13

0 0 -249/13 250/13 -249/13

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