Gravitacion Universal

INTRODUCCIÓN

La teoría de la gravitación Universal, propuesta por Isaac Newton en el tercer volumen de su obra “Principia” fue el resultado final de las elaboraciones de Galileo y Kepler entre otros.

Galileo realizó estudios sistemáticos sobre la caída libre, los péndulos y el movimiento de los proyectiles. Fundamentó con ello la mecánica; uno de los resultados más importantes de su trabajo dice:” todos los cuerpos, en ausencia de fricción, caen con la misma aceleración, independientemente de su masa”. Esta afirmación toma su sentido más profundo en el trabajo de Newton.

Por su parte, Kepler obtuvo las leyes básicas que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Sus investigaciones se sintetizan en la siguiente frase: los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses con el Sol en uno de sus focos; hay además una ley de áreas y otra de períodos, como lo veremos en lo que sigue.

Newton, el constructor de la gran síntesis que unifica la física terrestre de Galileo con la cinemática celeste de Kepler, comienza por proponer sus tres leyes de movimiento, que son los axiomas de la mecánica: la ley de inercia, la fuerza y la de acción-reacción. El movimiento planetario puede ser descrito con la mediación de estas leyes si además se acepta que todos los cuerpos experimentan una atracción asociada a sus masas, acción que se conoce como gravitación Universal; tal fuerza es universal, es decir se realiza entre cada pareja de cuerpos materiales sin importar donde se encuentren, aunque ciertamente la magnitud de la atracción depende de la distancia que los separe.

La teoría de Newton de gravitación describe con alta precisión el movimiento de los planetas alrededor del Sol, incluyendo la distorsión en la elipticidad de sus órbitas debido a las perturbaciones generadas por los otros planetas. En efecto, el cálculo de perturbaciones, iniciado por Newton y perfeccionado por Laplace permitió no solo describir las anomalías en los movimientos planetarios debidas a las perturbaciones, sino incluso predecir la existencia de nuevos planetas; fue así como se descubrieron Neptuno y Plutón.

Además la teoría permitió probar que no solo las elipsis son posibles sino también el círculo, la parábola y la hipérbola. En particular los cometas se mueven en elipsis de gran excentricidad o en órbitas abiertas. El movimiento del cometa Halley, por ejemplo, fue descrito con gran precisión por E.Halley, amigo de Newton.

Con la teoría de Newton es posible describir el movimiento de la luna, la existencia de las mareas, el movimiento de las lunas de otros planetas y la de los satélites artificiales que hemos colocado alrededor de nuestro planeta. Con la teoría de Newton de gravitación se han diseñado las trayectorias que han llevado nuestras naves a la Luna, a Marte y a los confines del sistema solar, como las naves Apolo, Pathfinder y Voyager.

La teoría de gravitación Universal es también un primer paso en la construcción de teorías sobre la estructura del Universo y en particular permite estudiar la morfología de las galaxias.

Como veremos, uno de sus conceptos fundamentales, además del de fuerza gravitacional, es el concepto de campo de gravitación, definido como la fuerza por unidad de masa de prueba; otro concepto de gran importancia es el de potencial gravitacional, con el cual asociamos la noción de energía potencial gravitacional y la conservación de energía mecánica cuando hay cuerpos que gravitan.

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.

Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m_{1} y m_{2} separados una distancia r es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

Donde;

es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

es la constante de la Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:

(2)

en unidades del Sistema Internacional.

Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica).

Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Historia

Trabajos de Hooke y disputa

Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaía como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días, no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros autores a los que sí agradeció1 los trabajos anteriores en los que basó sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa cuadrado, Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que fueron varios autores en aquella época que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.

Relación con las Leyes de Kepler

Las Leyes de Kepler eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas a través de las observaciones existentes. Aunque éstas describían dichos movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste (su año es más largo).

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal

Forma vectorial

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones , la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por

(2)

donde es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Cuerpos extensos

Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden

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