Ley De Gravitacion Universal

La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones entre cuerpos complejos.

Así, con todo esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m_{1} y m_{2} separados una distancia r es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:

(1)

F = G \frac {m_{1}m_{2}} {r^2}

donde

F\, es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.

G\, es la constante de la Gravitación Universal.

Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición(véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:

(2)

G = \left(6.67428 \plusmn 0.00067 \right) \times 10^{-11} \ \mbox{N} \ \mbox{m}^2 \ \mbox{kg}^{-2}

en unidades del Sistema Internacional.

Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga eléctrica).

Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos (planetas, lunas, asteroides, etc) del Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.

Índice [ocultar]

1 Historia

1.1 Trabajos de Hooke y disputa

1.2 Relación con las Leyes de Kepler

2 Formulación general de la ley de la Gravitación Universal

2.1 Forma vectorial

2.2 Cuerpos extensos

3 Consecuencias

3.1 Aceleración de la gravedad

3.2 Preferencia del cuerpo más masivo

3.3 Interior de un cuerpo esférico

3.4 Interior de una corteza hueca

3.5 Movimiento de los planetas

3.6 Corrección del peso por la fuerza centrífuga en la Tierra

4 Limitaciones

5 Problemas filosóficos

5.1 Acción a distancia

5.2 Masa inercial y masa gravitatoria: principio de equivalencia

6 Véase también

7 Referencias

7.1 Bibliografía

Historia[editar • editar código]

Trabajos de Hooke y disputa[editar • editar código]

Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la gravedad decaía como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días, no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros autores a los que sí agradeció1 los trabajos anteriores en los que basó sus ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa cuadrado, Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que fueron varios autores en aquella época que ya se dieron cuenta de una dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.

Relación con las Leyes de Kepler[editar • editar código]

Las Leyes de Kepler eran una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas a través de las observaciones existentes. Aunque éstas describían dichos movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial, a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor de éste (su año es más largo).

Formulación general de la ley de la Gravitación Universal[editar • editar código]

Forma vectorial[editar • editar código]

Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma, suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, la fuerza (que será un vector ahora) vendrá dada por

(2)

\mathbf{F}_{12} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^2} \hat{\mathbf{u}}_{12}

= -G \frac{m_{1}m_{2}}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^3} (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)

donde \hat{\mathbf{u}}_{12} es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.

Cuerpos extensos[editar • editar código]

Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales. Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la región del manto terrestre o del núcleo).

En estos casos es necesario describir al objeto masivo como una distribución de masa, es decir describirlo a través de su densidad en cada punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual matemáticamente se traduce en una integral sobre el volumen de cada cuerpo, de tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como

(3)

\mathbf{F}_{12} = -G \int_{V_1}\int_{V_2}

\frac {\rho_1(\mathbf{r}_1) \rho_2(\mathbf{r}_2)}{\|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\|^3}

(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)\ d^3\mathbf{r}_1 d^3\mathbf{r}_2

Donde

\scriptstyle V_1, V_2 son los volúmenes de los dos cuerpos.

\scriptstyle \rho_1, \rho_2 son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio (\scriptstyle r_1, r_2).

Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:

G \frac{m_1 m_2}{d_{\max}^2} \le \| \mathbf{F}_{12} \| \le G \frac{m_1 m_2}{d_{\min}^2}

Donde \scriptstyle d_{\min}, d_{\max} son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en un instante dado.

Consecuencias[editar • editar código]

Aceleración de la gravedad[editar • editar código]

Considerando la segunda ley de Newton, que explica que la aceleración que sufre un cuerpo es proporcional

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