INTRODUCCIÓN A MATRICES

OBJETIVOS:

• Reconocer a las matrices como funciones
• Identificar a las matrices como vector
• Resolver ecuaciones matriciales
• Determinar cuándo una matriz puede invertirse y aplicar distintos métodos para invertirla
• Plantear y resolver distintas situaciones problemáticas modelizadas a  través de matrices

ÍNDICE

• Definición. Notación específica
• Igualdad de matrices
• Matrices especiales.

• Matriz nula
• Matriz identidad

• Operaciones con matrices:

• Suma, propiedades
• escalar por matriz, propiedades
• producto de matrices, propiedades
• Inversa de una matriz.
• Cálculo de la matriz inversa
• Potencia de matrices

• Ecuaciones matriciales

REQUISITOS PREVIOS

Operar en los distintos conjuntos numéricos.

Intervalos naturales. Estructura algebraicas: grupo, anillo, cuerpo.

Plantear y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Conocer la definición de espacios vectoriales, dependencia e independencia lineal, base y dimensión.

PAUTAS DE TRABAJO

Los siguientes son algunas pautas para recorrer el documento que están pensadas para que puedas lograr un mejor aprendizaje del tema propuesto:

• En el índice encontrarás hipervínculos a cada tema para que puedas revisarlos cuando lo necesites
• En las actividades y ejemplos propuesto tenés las respuestas ya sea a través de hipervínculos o cambiando el color de la letra. ES ESENCIAL que primero las plantees y trates de resolverlas , preguntes a tu tutor para pedir pistas y después que estés convencido que lo resolviste, verifiques la respuesta
• Tené presente que en este material se piden aportes, como ejemplos, comentarios, completar oraciones. Por lo tanto, no olvides enviarme tus respuestas así puedo monitorear tus progresos, pues son consignas de respuestas libres. Así que, si tienes dudas, envía un email o haz uso del sitio  http://sites.google.com/site/algebraatdelta

• Prestá atención a las referencias al pie de página, si dejas el cursor sobre el número se despliega un cartel con la indicación

• Este link http://prezi.com/hamgptm5sf49/edit/#2te permite observar un mapa interactivo de lo que hemos de desarrollar. Al terminar esta unidad deberás crear otro, con los conceptos y establecer relaciones que en este aparecen o no, y que consideras que deben estar. Agregues efectos que favorezcan a la interpretación

INTRODUCCIÓN A MATRICES

INTRODUCCIÓN

Siguiendo con el análisis de conjuntos que tienen estructura de espacios vectoriales, estudiaremos el conjunto de las matrices. Los elementos de este conjunto se suelen interpretar como tabas de doble entrada. Seguro nos viene a nuestra memoria una planilla de Excel, si nos gusta el fútbol, la tabla de posiciones, bueno así podríamos seguir enumerando tablas

Las matrices se utilizan para modelizar problemas matemáticos. Están las asociadas a los sistemas de ecuaciones lineales, a las transformaciones lineales, cónicas, cuádricas, grafos, dígrafos, árboles, relaciones…..

En esta guía te propongo actividades para poder aprender a operar con ellas y analizar qué propiedades tienen para luego utilizarlas para resolver problemas

Pero no las perderemos de vista, ya que en las unidades siguientes estarán ellas acompañándonos y dándonos una mano[pic 1]

En esta red puedes apreciar lo que hemos de transitar juntos

Comencemos el recorrido, quiero que conozcas otro espacio vectorial MATRICES^[1]

Nuestra cultura está llena de ellas: la tabla de posiciones de los cuadros de fútbol, las tablas con las cotizaciones en la Bolsa en cada uno de los días de la semana, los horarios de los trenes,…

[pic 2][pic 3]

En matemática, las matrices que aparecen tienen en general una estructura muy rica, por tener un sentido muy preciso y muy informativo la suma, el producto y otras operaciones que con ellas se pueden realizar. Esto ha llevado al desarrollo, sobre todo a principios del siglo XIX, del álgebra lineal, que ha tenido una intensa repercusión en campos tales como las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la optimización,…, y consiguientemente, en muchos aspectos de la economía y la física.

Actualmente, a partir de la mitad del siglo pasado, el trabajar y operar con matrices puede realizarse con computadoras en pocos segundos, algo impensado hace un siglo atrás

Concepto y definición

Muchas veces grandes masas de datos se estructuran en cajas numéricas, tablas: matrices. Una primera aproximación al concepto de matriz identificarla como una tabla de doble entrada

Veamos el siguiente ejemplo:

Supongamos que el consumo en kg de un comedor comunitario es

Cada número tiene un significado claro. Por ejemplo, 22 son los kg de pan consumidos en el mes de mayo. Volcado esto en una matriz queda

   (1)[pic 7]

Como se puede observar sus elementos aparecen dispuestos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales). Esta matriz tiene 4 filas y 3 columnas, lo que se resume diciendo que es una matriz de dimensión 4x3.Se puede decir orden en vez de dimensión.

Ahora que tenemos una idea de qué es una matriz, damos su definición^[2]:

[pic 8]

Veamos cómo esta definición determina una matriz. Utilicemos el ejemplo anterior, completando una tabla con los elementos de la definición y cuál corresponde a este caso particular

Esta función A, en el ejemplo, tiene como dominio el conjunto:

I4 X I3 = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 2); (4; 3)}

y la tabla de valores es:

Esta forma de dar A no se corresponde, en general, a la imagen que nos podemos encontrar en el planteo de un problema. Es por esto que se da la tabla de valores anterior como una tabla de doble entrada, tal cual lo hicimos en el ejemplo. Es decir:

En vez de

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