Indices De Miller

INDICES DE MILLER

(Los índices de Miller son notaciones utilizadas para designar las rectas y planos cristalográficos en un sistema de ejes rectangulares X, Y, Z),

Para analizar las estructuras cristalinas existe una notación que permite estudiar las posiciones de cualquier punto dentro de una celda unidad, cualquier plano que queramos definir (y todos los planos paralelos y equivalentes que forman una familia) cualquier dirección.

Primero analizaremos cómo dar las posiciones de los puntos en la red mediate algunos ejemplos.

1. Se debe usar el sistema de ejes cristalográficos y se considera que la longitud de cada eje es la unidad de medida según su dirección.

2. Se puede tomar como origen cualquier punto de la red.Cada punto de la red puede ser tomado como origen

3. Dentro de cada celda los números estarán comprendidos entre -1 y 1 (no incluidos).

4. Notación (a, b, c) donde a, b y c son fracciones ó 0.

Direcciones cristalinas:

Para indicar las direcciones cristalinas se dibuja un vector que una el origen (0, 0, 0) con el punto de la red más próximo en la dirección elegida, usando las direcciones cristalográficas como ejes de coordenadas. Las componentes del vector se ponen en relación de números enteros.

Se denotan como [hkl], donde h, k, y l son enteros. La notación entre corchetes ( [ ] ) es importante

Se colocará una barra horizontal sobre las componentes negativas

En muchos sistemas hay varias direcciones que son equivalentes.

Como ejemplo, en el sistema cúbico las direcciones [1, 0, 0], [0, 0, 1] y [0, 1, 0], son equivalentes entre sí. También son direcciones equivalentes las [1, 1, 0], [1, 0, 1] y la [0, 1, 1], por ejemplo.

Planos cristalinos

Para indicar un plano de un cristal se suele usar un proceso que da lugar a tres índices que se conocen con el nombre de índices de Miller, (h, k, l), que ahora se escriben entre paréntesis.

En la figura se muestran tres planos de una red.

Planos cristalinos

Como ejemplo, el plano de la figura –colocado de manera que no pase por el origen- corta al eje x en ½, al y en 2/3 y al z en 1. Los índices de Miller se calculan invertiendo estos números (2, 3/2,1)

Y poniéndolos en relación de números enteros: (4, 3, 2)

En este segundo ejemplo, los puntos de corte con los ejes x, y,

z son, respectivamente, ½, ½, e “infinito”; por ello al invertir estos números

tenemos el plano (2, 2, 0) que está directamente en relación de números enteros.

Planos cristalinos

Familias de planos: las familias de planos son conjuntos de planos que son totalmente equialentes y, como notación, se escriben con sus índices de Miller entre corchetes. En la figura se muestran las familias {2,2,0} y {1,1,0}, ambas son paralelas pero los planos de una de ellas no son equivalentes a los de la otra. Esto se puede ver si se analiza la celda unidad que se muestra debajo.

ÍNDICES DE MILLER EN LOS CRISTALES HEXAGONALES

En este sistema se toman como ejes de referencia los tres formados en la base por el hexágono a 120º, y el cuarto eje, z, el del prisma, Como consecuencia de añadir un eje más aparece un cuarto índice, que será entonces: (hkil).

Entre estos índices existe la siguiente relación: h + k + i = 0 y por tanto h + k = - i,. Los índices de las bases, planos de gran importancia en esta estructura son (0001).

Las direcciones en esta celdilla también están formadas por cuatro índices con las mismas relaciones que en los planos.

Catorce tipos de celdas unitarias

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