Inducción Matemática

INTRODUCCION

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

INDUCCION MATEMATICA

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

1 satisface a P y,

k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P,

entonces todos los números naturales satisfacen P.

Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.

Procederemos de la siguiente manera:

Verificaremos la proposición para el numero 1.

Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).

Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

Ejemplo 1:

Demostraremos que:

1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*)

2

1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

2

Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).

2

Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

2

Demostración:

(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

2

= k(k+1)+2(k+1)

2

= (k+1)(k+2)

2

Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales.

En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1)

Ejemplo 2:

Demuestre usando Inducción Matemática que:

n

" i3 = n2 (n+1)2

i=1 4

1° Usando n = 1

1

" i3 = 12 (1+1)2

i =1 4

1

" 1 = 1(4)

i =1 4

1

" 1 = 4 = 1

i=1 4

2° Supongamos valido para n = k

k

" i3 = k2 (k+1)2

i=1 4

3° Por demostrar valido para n = k+1

k+1

" i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba

i=1 4

= (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar

4

k+1 k

" i3 = " i3 + (k+1)3

i =1 i =1

= k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1)

4 4 4

= (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4)

4

= (k+1)2 (k+2)2

4

Ejemplo 3:

Demuestre

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