INDUCCION A LAS MATEMATICAS
Enviado por axelk • 24 de Noviembre de 2015 • Exámen • 1.638 Palabras (7 Páginas) • 221 Visitas
INDUCCION A LAS MATEMATICAS
AXEL EMMANUEL MUNGUIA GARCIA
TPSI 4ºA
Sea P una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos ) . Si 1 satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural n que satisface esa propiedad se llega a que n + 1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface.
Para probar que una propiedad P se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:
1° ) Se comprueba para n = 1 ( Comprobación ) .
2° ) Se asume que se cumple para n = k ( Hipótesis de inducción ) .
3° ) Se predice que se cumple para n = k + 1 ( Tesis ) .
4° ) Se demuestra que si se cumple para n = k , entonces se cumple para n = k + 1 ( Demostración ) .
Observación: En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural m > 1 . Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para n = m .
Ejemplo 1
Demuestre por inducción matemática que:
Si n es un entero positivo, entonces n ( n + 1 ) es divisible por 2 .
a ) Sea n = 1 , entonces
n ( n + 1 ) = 2 ( Verdadero ) .
b ) Sea n = k , entonces:
k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea n = k + 1 , entonces:
( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 ( Tesis ) .
d ) Demostración:
( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 )
k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Por hipótesis de inducción ) .
2 ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Entero par ) .
Por lo tanto ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 .
Ejemplo 2
Demuestre por inducción matemática que:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 n – 2 ) = 2 n 2
a ) Sea n = 1 , entonces:
4 n – 2 = 2
2 n 2 = 2 ( Verdadero ) .
b ) Sea n = k , entonces:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2 k 2 ( Hipótesis de inducción ) .
c ) Sea n = k + 1 , entonces:
2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2 ( k + 1 ) 2 ( Tesis ) .
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