INDUCCION MATEMATICA

Inducción Matemática

Inducción Matemática es un método de prueba relativamente reciente: el primer uso conocido lo hizo el sacerdote italiano Francesco Maurolico (1494-1575) en su publicación “Arithmeticorum libri duo” (1575). En el siglo 17 tanto Piere de Fermat como Blaise Pascal utilizaron esta técnica. En 1883 Augustus De Morgan fue el primero que describió el proceso cuidadosamente y le nombró inducción matemática.

el principio de inducción matemática consiste en lo siguiente:

Una proposición es válida para todo número natural n si:

1) Es válida para n = 1 (o para el menor de los enteros para los que la proposición tiene sentido, Ejemplo 4), y

2) de su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende su validez para n = k + 1.

Hay un segundo principio de inducción un poco más fuerte en el que 1) es el mismo pero en 2) hay que asegurar la validez de todos los números menores o iguales que un cierto valor k y de ahí se desprende su validez para n = k + 1. (Ejercicio 9)

Una descripción informal de la inducción matemática puede ser ilustrada por el efecto dominó, donde ocurre una reacción en cadena con una secuencia de piezas de dominó cayendo una detrás de la otra.

Suponga una fila interminable de fichas de dominó. Suponga que las fichas están estratégicamente colocadas de tal forma que si cualquiera cayera hacia adelante tumbaría la siguiente ficha hacia adelante. (Paso Inductivo) Suponga también que la primera ficha cae hacia adelante.(Base Inductiva ) ¿Qué pasará con las fichas de dominó? ¡Caerán todas!

Ejemplo 1:

Vamos a calcular la suma

Por la definición obtenemos ; ; ; , etc. Ahora no repetiremos el error del ejemplo 1 afirmando de inmediato que para todo número natural n es , seamos prudentes y digamos que el análisis de las sumas , , , sugiere la hipótesis de que para todo número natural n. Sabemos que la hipótesis se cumple para n = 1, 2, 3 y 4, para demostrarla recurriremos al método de inducción matemática.

Para n = 1 la hipótesis se cumple pues , supongamos que la hipótesis se cumple para n = k, o sea que donde k es un número natural. Demostraremos que, entonces, la hipótesis es válida para n = k +1, o sea que . En efecto: , por consiguiente, según la hipótesis del teorema

Observación 1: Es necesario subrayar que en las demostraciones por inducción se deben verificar incondicionalmente ambas condiciones, ya hemos visto que conduce a proposiciones falsas despreciar la condición (2) y vemos a continuación que pasa lo mismo si no verificamos la (1)

Ejemplo 2:

Proposición: Todo número natural es igual al número natural siguiente.

Aplicamos para la demostración el método de inducción matemática. Supongamos que k = k + 1 (1) y demostremos que k + 1 = k + 2 (2). En efecto, agregando 1 a ambos miembros de la igualdad (1) se obtiene (2). Resulta, pues, que si la proposición es válida para n = k, también lo es para n = k +1. De donde parece que se deduce que todos los números naturales son iguales.

El error consiste en que para poder aplicar el principio de inducción se deben cumplir las dos condiciones del mismo y la (1) no se verificado ni puede hacerse.

Cada una de las condiciones verifica su papel en la misma, la (1) crea, hablando figuradamente, la base de la inducción, mientras que la (2) permite ampliar automática e indefinidamente esta base pasando de un caso particular al siguiente, o sea, de n a n + 1.

Si no se ha verificado la condición (1) no se ha creado la base de la inducción y no tiene sentido aplicar la (2) pues no hay nada que ampliar. Y si se ha verificado la (1) pero no se ha verificado la (2) existe la base pero no tenemos el derecho a ampliarla.

Observación 2: Hemos visto el método de inducción en el caso más sencillo. En situaciones más complejas hay que modificar ligeramente las dos condiciones. A veces la segunda parte de la demostración se basa en que la proposición es válida no sólo para n = k, sino también para n = k – 1. En tal caso la proposición de la parte (1) se ha de comprobar para dos valores sucesivos de n.

También,

...