Inducción matemática

Introducción

El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea:

A partir de un cierto conjuntos de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas".

Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemática.

Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta. Dicha afirmación sigue siendo verdadera para los infinitos números naturales restante

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Pasos:

1. Se demuestra que 1 cumple con la propiedad
2. Se supone que la propiedad es verdadera para un cierto número n (arbitrario)
3. Se demuestra para el numero siguiente el n+1

Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales de forma parecida a las filas de domino cuando cae una ficha también debe caer la siguiente  (si es cierta para n, debe serlo para n+1). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.

Inducción Matematica

                Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

1. 1 satisface a P   y,
2. k pertenece a los Naturales, k satisface P⇒ (k+1) satisface   P,

           entonces todos los números naturales satisfacen P. 

                 Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.

Procederemos de la siguiente manera:

1. Verificaremos la proposición para el numero 1.
2. Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).
3. Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

       Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.[pic 1][pic 2]

  n[pic 3][pic 4]

• n i = [pic 5]

i =1[pic 6]

Ejemplo 1:

              Demostraremos que:

      1+2+3+............+n = n(n+1), ∀ n perteneciente a los naturales (*)

                                             2

1. 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

                      2                          

1. Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

                 1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).

                                                     2

1. Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

                              1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

                                                                                 2                  

            Demostración:

(1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

                                                 2

                                         = k(k+1)+2(k+1)

                                                       2

                                         = (k+1)(k+2)

                                                     2

Luego la proposición (*) es verdadera ∀n perteneciente a los naturales.

                  En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1)

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