Taller induccion matemática
Enviado por Javi Aranda • 28 de Noviembre de 2019 • Tareas • 2.061 Palabras (9 Páginas) • 99 Visitas
TALLER 1
PAUTA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
I.- Demostrar por Inducción Matemática las siguientes sumas
1. | P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = [pic 2] Paso1:P.d: para n=1 1 = [pic 3] Paso2: (H.I) Se supone cierto para n=k 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) = [pic 4] Paso 3: Por demostrar para n = k+1 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = [pic 5] Dem: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = [pic 6] Por H.I. + (2k + 1) = [pic 7][pic 8] + 2k + 1 = QED[pic 9][pic 10] |
2. | + + + . . . + = [pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15] Paso1: P.d: para n = 1 = 1 = [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19] Paso2: (H.I) Se supone cierto para n=k + + + . . . + = [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24] Paso 3: Por demostrar para n = k+1 + + + . . . + = [pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29] Dem: 1 + + + . . . + = [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33] = [pic 34][pic 35][pic 36] Por H.I. + = = [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43] = QED[pic 44][pic 45] |
3. | P(n) =[pic 46] Paso1: P.d: para n = 1 [pic 47] Paso2: (H.I) Se supone cierto para n = k [pic 48] Paso 3: Por demostrar para n = k+1 [pic 49] Dem: [pic 50] Por H.I. [pic 51] + [pic 52][pic 53] Amplificando + [pic 54][pic 55] [pic 56][pic 57][pic 58]
= QED [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62] |
II.- Demostrar por Inducción Matemática las siguientes divisibilidades
1. | P(n) : 6 n −1 es divisible por 5 nN , n 1[pic 63][pic 64] Paso1: P.d: para n=1 − 1 = 6 − 1 = 5 es divisible por 5[pic 65] Paso2: (H.I) Se supone cierto para n=k 6 k −1 = 5ª Paso 3: Por demostrar para n = k+1 P.d: 6 k+1 −1 = 5B Dem: 6 k+1 −1 = 5B 6 k−1 = 5B 5 6 k 6 k −1 = 5B [pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70] 5 6 k( 6 k– 1) = 5B 5 6 k5A = 5B[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76] Factortizando por 5: 5 6 kA) = 5B[pic 77][pic 78][pic 79] Sea (6 kA) = B Q.E.D[pic 80] |
2. | P(n) = −1 es un múltiplo de 2 para n = 1, 2, ...[pic 81] Paso 1: P.d: para n=1 −1 = 2 y es múltiplo de 2 o divisible por 2[pic 82] Paso 2: (H.I) Se supone cierto para n = k −1 = 2A[pic 83] Paso 3: Por demostrar para n = k+1 −1 = 2B[pic 84] Dem: −1 = 2B−1 = 2B −1 ) = 2B [pic 85][pic 86][pic 87][pic 88] Por H.I. = 2B = 2B QED[pic 89][pic 90][pic 91] |
3. | P(n) = + 2n es divisible por 3[pic 92] Paso1: P.d: para n=1 + 21 = 3 y 3 es divisible por 3[pic 93][pic 94] Paso2: (H.I) Se supone cierto para n=k + 2k = 3A[pic 95] Paso 3: Por demostrar para n=k+1 P.d: + 2(k + 1) = 3B[pic 96] Dem: + 2(k + 1) = 3B + 2k + 2 = 3B[pic 97][pic 98] asociando = 3B [pic 99] H.I. y factorizando por 3 3A3( (= 3B[pic 100][pic 101][pic 102] 3( A + = 3B[pic 103][pic 104] Con (A + = B Q.E.D[pic 105] |
III.- Demostrar por Inducción Matemática las siguientes desigualdades
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