Inercia

Resumen

Se determinará experimentalmente el momento de inercia de distintos cuerpos que giran entorno a un eje rotacional en particular que estará unido, por medio de una polea inteligente conectada al sistema LAB-GICM, con una masa colgante en su otro extremo, la cual se dejará caer para así registrar los tiempos que permitirán observar el cambio de la velocidad angular y hallar la aceleración lineal resultante gráficamente. Luego de hallar el valor experimental de la aceleración lineal y habiéndola convertido a aceleración angular, se utilizarán la segunda ley de Newton, la relación existente entre torque y aceleración angular, y la ecuación teórica del momento de inercia para hallar una expresión matemática que nos permitirá conocer el valor experimental del momento de inercia para los distintos objetos: una regla (barra), una masa puntual, un disco, un anillo y un objeto irregular. Al obtener el valor de los momentos de inercia teóricos y experimentales se procederá a estudiar la dependencia de la aceleración angular y el momento de inercia de un cuerpo rígido en rotación, al igual que los errores teóricos y experimentales que se encontraron a lo largo del procedimiento.

Palabras clave: Momento de inercia, polea, sistema LAB-GICM, aceleración angular, torque, leyes de Newton, masa.

Introducción

El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional (magnitud escalar) de un cuerpo. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación respecto a un eje de giro. Este sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Para el cálculo experimental se deberán usar los conceptos físicos que juegan en el movimiento, tales como: tiempo, velocidad angular, aceleraciones lineal y angular, leyes de Newton (2da ley para este procedimiento en específico), diagrama de cuerpo libre sistemas polea-masa, tensión y torque.

Para llevar a cabo este experimento se tiene en cuenta que se trabajará con un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de traslación de una partícula y la rotación del cuerpo rígido; con un sistema de masas colgantes que descienden y ascienden suministrando el torque necesario para hacer rotar a los cuerpos rígidos de interés.

Las ecuaciones teóricas de momento de inercia que se utilizarán, son:

I=1/12 〖M l〗^2 (1) Para la regla (barra), donde L es su longitud y M su masa total.

I=M R^2(2) Para la masa puntual, donde R es el radio con respecto al eje de giro.

I=1/2 M R^2(3) Para el disco, donde R es el radio del disco y su eje de giro se ubica en el centro del disco.

I=1/4 MR^2(3.1) Para el disco, cuando el eje de giro se ubica a lo largo de su diámetro.

I=1/2 M (r_1^2+r_2^2)(4) Para el anillo, donde se utilizan sus dos radios.

Es necesario que aclarar que para la medición del momento de inercia para el anillo, se debe deducir analíticamente del momento de inercia del anillo y el disco, cuando el eje de giro se ubica en el centro del disco, puesto que es imposible realizar un montaje del sistema sólo para el anillo.

Procedimiento experimental

El montaje realizado en este procedimiento se realizó con los siguientes elementos:

Interfaz LAB-GICM con foto celda.

Masa puntual (cuadrada)

Balanza

Anillo

Disco

Objeto irregular

Cuerpo irregular

Masas colgantes

Regleta

Pie de rey

Computador (Programa Excel)

Figura 1.1

La interfaz LAB-GICM con foto celda permitió que se tomaran 20 tiempos de bajada y subida para objeto y sus respectivas masas colgantes, tiempo que era posible de conocer por medio de un sensor ubicado encima de las foto celdas que rodeaban al eje de giro como se aprecia en la figura 1.1

Antes de realizar el montaje para los cuerpos rígidos, se procedió a pesar y medir las magnitudes de interés para el experimento, dichos datos expuestos en la tabla 1.1

tabla 1.1

A continuación, se realizaron los montajes para nuestros cuerpos rígidos: regla, masa puntual, disco, anillo y objeto irregular respectivamente, con el fin de tomar los tiempos ascendentes y descendentes proporcionados por el LAB-GICM.

Para determinar el momento de inercia de cada cuerpo rígido, se realizó el siguiente procedimiento:

Un una masa M rota sobre un eje de giro Z por la acción de una fuerza gravitacional sobre una masa colgante como se muestra en la figura 1.3

figura 1.3

Para la masa colgante m se cumple que:

∑▒〖F=ma〗 (5)

Y también se sabe que la relación que existe entre la aceleración angular de la masa M que gira y el torque, por lo que el momento de inercia experimental queda sujeto a una relación entre estos dos valores físicos:

I=τ/α (6)

Desde este análisis se procedió a descomponer el diagrama de fuerzas como se ve en la figura 1.3 y hallar una expresión matemática que me permita conocer el valor del torque en z y así encontrar el valor del momento de inercia para la masa M. La aceleración lineal con la que cae la masa m, es la misma aceleración angular con la que gira la masa M, por lo que la relación para encontrar el valor de esa aceleración angular partiendo de la lineal es:

α=ra (7)

De los conceptos físicos del movimiento circular, se conoce que existe una relación que implica a la tensión y el radio del eje de giro para hallar el torque que actúa allí, por lo que se procedió a deducir de la ecuación (5) el valor experimental de la tensión que influye sobre el hilo del sistema, obteniendo la siguiente expresión:

T=m(g-a)(8)

En la figura 1.3 también se puede apreciar el radio del eje de giro, las fuerzas implicadas en el sistema y la dirección de la velocidad angular. No se incluye la fuerza de fricción en el procedimiento, puesto que al tomar los datos del tiempo descendiendo y ascendiendo, lo que se intenta hacer es de algún modo desaparecer esa fuerza sin que lo cálculos y valores que se encuentren dejen de tener validez.

Ahora bien, la expresión para encontrar el valor del torque en el eje de giro z es:

τ=rT=rm(g-a)=rm(g-ra)(9)

Teniendo el valor del torque, sólo nos queda hallar el valor experimental de la aceleración angular de M. Para ello utilizamos el valor de los tiempos descendentes y ascendentes que tomamos con el LAB-GICM y el programa Microsoft Excel. Después de obtener los tiempos para todos los sistemas, se procedió a hallar las velocidades angulares utilizando las ecuaciones (10) y (11)

∇t=t_(f-) t_i(10)

Hallando los delta de tiempos ascendentes y descendentes respectivamente.

∇ω=∇θ/∇t(11)

Donde por la definición del concepto de velocidad se entiende como el barrido angular o distancia recorrida en el tiempo. Donde como sabemos por los datos iniciales que el barrido angular es de π/5.

Teniendo entonces la velocidad angular, con la ayuda del software Excel se obtuvieron las gráficas de Velocidad Vs Tiempo y con ella el ajuste lineal y las pendientes, que por definición se conocen como las aceleraciones. Dichas aceleraciones obtenidas, fueron lineales, ambas se promediaron y se pasaron a expresar como aceleraciones angulares por medio de la ecuación (7). Teniendo entonces el valor de las aceleraciones y las tensiones para cada cuerpo rígido, se hallaron los respectivos momentos de inercia usando la ecuación (6) y el mismo análisis para cada uno de ellos.

Existieron unos casos particulares que demandaban un cálculo de más para hallar sus momentos de inercia:

Para la masa puntual y cuerpo irregular (M) al valor del momento de inercial de la regla y la masa/cuerpo irregular (MR) se le resto el de la regla sola(R) I_M=I_MR-I_R

Para el anillo (A) al valor del momento de inercia del anillo y el disco (AD) se le resto el valor del disco solo (D) I_A=I_AD-I_D

Análisis y resultados

Luego del procedimiento experimental encontramos

Conclusiones

Para medir el momento de inercia con el modelo experimental y los instrumentos utilizados, sería ideal que el valor de la velocidad de la masa colgante fuera muy grande para que así los delta de tiempo fueran más pequeños (tiendan a cero) y minimizar el error.

La confiabilidad del sistema es relativamente buena, aunque existían muchos detalles que podían hacer que la tendencia lineal de la curva en las gráficas de Velocidad vs Tiempo fuera muy alejada de la realidad. Esto pasaba cuando el hilo parecía saltar en el cilindro en el cual estaba enrollado, por lo que esto alteraba la naturaleza del movimiento y a su vez el experimento entero.

El momento de inercia como lo pudimos observar a lo largo del experimento varía según la distribución de la masa del cuerpo rígido, algo que se entendió con muchas más claridad al realizar el procedimiento con el cuerpo irregular.

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