Momento De Inercia

Cálculo de una Orbita desde Tres Observaciones

Por Liona Fan-Chiang

1 Introducción

Para cuando Karl Gauss pasa de genio local a la primera línea de la fama mundial a finales de 1801, la campaña de terror para eliminar la creatividad ya se había consolidado ampliamente, oscureciendo a las potenciales mentes históricas de Europa. El terror llegó en la forma de liberalismo, sofistería y empirismo. El mundo muerto de la mecánica Newtoniana había sido resucitada, solo tres años atrás, por el matemático fúnebre, Laplace, con su Mecánica Celeste, mientras que uno de los más prolíficos y último de los defensores explícitos de Cusa, Kepler y Leibniz contra el Newtonianismo , Abraham Käestner, había muerto un año antes.

La comunidad astronómica quedó estupefacta cuando fue avergonzada por el entonces joven mozalbete desconocido, quien no solo calculó con precisión la orbita del elusivo planeta, Ceres, a partir 3 grados de arco de observaciones, sino que, además, fue capaz de ¡corregir el error observacional original! Todos estaban ansiosos de enterarse de las tácticas superiores que Gauss debió haber usado. Solo después de la presión significante de un honesto científico, Heinrich Olbers, Gauss finalmente respondió con una carta en la cual resume una solución completa al problema, seguida de un libro mucho más extenso en 1809. Sin embargo, después de digerir minuciosamente ambas publicaciones, quedaba la pregunta: ¿Qué hizo Gauss que fue diferente a los intentos de otros, que pudo resolver el problema que nadie más pudo? Incluso Olbers señaló es su carta que la ecuación, a la que alude como ‘la parte más importante de todo el método’, parece exactamente una de las ecuaciones de Laplace. ¿Está la diferencia en el detalle minúsculo? O ¿Guass simplemente no publicó lo que realmente hizo?

El presente reporte, una pequeña parte de un proyecto para descubrir el proceso mental de Gauss, arrojará luz sobre la segunda parte de la determinación de Gauss, como la describió en su primer reporte a Olbers, a saber, la tarea de calcular la orbita del planeta cuando se conocen las distancias geocéntricas, con el fin de iluminar el proceso de la mente de Gauss a través de las sutilezas de su presentación pública. A esta carta le llamaremos eufemísticamente a lo largo de este reporte Resumen General.

2. El Resumen General

El Segundo punto Determinación Aproximada de los Elementos

El resultado principal de toda la primera parte del Resumen General parece ser la capacidad para determinar las distancias geocéntricas de tres posiciones del elusivo planeta, derivada del principio fundamental de gravitación en el contexto de la geometría del infinitesimal. La ecuación final, que fue la “parte mas importante de todo el método”, expresa la distancia geocéntrica en una forma cognoscible, involucrando sólo las tres observaciones correspondientes dadas en longitud y latitud geocéntrica, los intervalos de tiempo entre las observaciones, el semi eje mayor de la orbita de la Tierra y la distancia heliocéntrica de la Tierra en esos tres momentos de observación.

Sin embargo, la tarea nominal desde el principio no era encontrar nuestra propia distancia al planeta en cualquier momento, o incluso tres momentos, sino ¡encontrar los elementos de toda la orbita vista desde el Sol! La única relación heliocéntrica mantenida en la conclusión de la primera parte lleva directamente a determinar los elementos de la orbita buscada, esta es la distancia de la Tierra al Sol. ¿Gauss ya exploró el camino por nosotros? O, solo ¿pone al observador en el papel de mediador entre las propiedades armónicas del Sistema Solar en relación al Sol, y su proyección legítima en la esfera de la investigación creativa?

Para comenzar a seguir a Gauss hasta donde el este dispuesto a llevarnos, deja de mirar hacia el misterioso planeta, y gira tu dedo índice hacia el Sol, ya que él es el protagonista principal de este acto.

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Gauss comienza el segundo punto:

“Dejemos a un lado por completo la observación media para el tiempo , y usemos en su lugar las distancias y ", que se determinan aproximadamente en el punto anterior. Es claro, que desde éstas se pueden derivar la longitud [], la latitud [b] y la distancia [r] heliocéntricas, y por lo tanto, la longitud de el nodo ascendente] y la inclinación [i] de la orbita y la longitud en la orbita [v].

Así, la primera tarea es transportar todas las relaciones geocéntricas anteriores al Sol, dado que solo desde el sol puede verse directamente tanto la longitud del nodo ascendente como la inclinación.

Dada la distancia abreviada, , (la distancia de la Tierra desde la proyección perpendicular del Planeta a la eclíptica) de las dos posiciones externas, ¿podemos encontrar las propiedades heliocéntricas antes mencionadas? Gauss característicamente dice, “es claro”. Un diagrama puede ayudar a hacer esta propuesta al menos más transparente.

α y β son la longitud y latitud geocéntricas como se observan desde la Tierra. R, la distancia del Sol a la Tierra, puede calcularse a partir de los elementos de la Tierra aportados por Kepler en su Nueva Astronomía [Link].  es la distancia geocéntrica aproximada a la posición sobre la eclíptica a la cual se proyecta perpendicularmente la posición real del planeta, de la manera como se llega a ella en la primera parte del Resumen General.

Las cantidades anteriores, la distancia heliocéntrica al planeta (r) y la longitud y latitud heliocéntricasy b respectivamente), se pueden encontrar geométricamente de las dos posiciones externas del planeta. Después de esto, las cantidades restantes a ser encontradas son la longitud del nodo ascendente () y la inclinación de la orbita (i), y la longitud en la orbita (v), todas como cantidades angulares vistas desde el Sol. Por lo tanto, por el momento podemos dejar a un lado el concepto de distancia, mientras volteamos aquí hacia la esfera celeste.

b, b", y , " son las latitudes y longitudes heliocéntricas respectivas de las dos posiciones en consideración, v es un ángulo medido en el Sol desde el equinoccio vernal a la posición real del planeta en orbita, que se puede encontrar por la relación cos(v)=cosb cos().

Hay varias formas de llegar a estas magnitudes buscadas, las cuales, requieren habilidad para navegar sobre la esfera. Por lo tanto, si no estas familiarizado íntimamente con la trigonometría esférica, tómate un tiempo y familiarízate con esta buena compañía

Nota que un resultado del ejercicio geométrico anterior es que ya hemos obtenido dos de los seis elementos necesarios de la orbita. Además, estos dos son los que se requieren para especificar la orientación de la orbita desconocida con respecto a la de la Tierra. Sin embargo, si la determinación completa fuera sólo un asunto de geometría, entonces Guass hubiera parado aquí, y se hubiera concentrado sobre cualquier otro de sus abundantes descubrimientos científicos profundos.

¡Allí esta el meollo!

Después de la habilidad para determinar la orientación del plano de la orbita buscada, está la tarea mucho más desafiante de buscar las características que definen singularmente las características armónicas de la orbita misma. Recuerda que Kepler había usado solo dos medidas primarias. La primera la revelo en su “librito” el Misterio Cosmográfico, a saber, que las proporciones aproximadas de las distancias entre las orbitas se pueden determinar por un anidamiento de los cinco sólidos platónicos. La segunda fue elaborada en su Armonía del Mundo, en la cual Kepler prueba que cuando consideramos los movimientos de los planetas, cada orbita solo se puede entender como proporciones integrales del Sistema Solar como un todo, pero esta vez, como proporciones que solo pueden ser entendidas por el oído.

En la notación de Gauss, el tamaño de las orbitas esta dado en proporción de la distancia media de las orbitas planetarias al Sol (a) con respecto a la distancia media de la Tierra al Sol, que con frecuencia se reemplaza por el semi parámetro mas útil (p=(b2)/a, donde b es el semi eje menor). La excentricidad, que define el movimiento extremo, es denota por e, y la posición en la que ocurre esos movimientos extremos se designa por la longitud de los ápsides. Gauss eligió usar la longitud del perihelio, es decir, el punto de movimiento mas rápido por la razón práctica de que la mayoría de los objetos celestes de interés a finales del siglo XVIII eran cometas, ¡muchos de los cuales no tienen afelio!

De esta manera, aun permanece el problema de determinar los elementos restantes, a saber a, e,  y el periodo desde las dos longitudes en la orbita.... v v", la distancia desde el Sol... r r" y los tiempos correspondientes  "

Dado que las relaciones de estas magnitudes a las dadas antes son trascendentales, debemos de nuevo apoyarnos en el método indirecto.

Resumen General

Primero, con el fin de obtener algún discernimiento sobre por qué Gauss afirma que las relaciones buscadas son trascendentales, buceemos y tratemos de calcular un conjunto de elementos. Empecemos con una herramienta útil, que se reconoce como la sombra de aquellos principios físicos examinados por Kepler; una sombra que es frecuentemente mal construida, o presentada equívocamente como una de las “Leyes de Kepler”: la

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