Ingenieria I

Comprobando este resultado con Wolfram Mathematica 7.0:

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes indeterminados.

y^'''-5y^''+6y^'=2Sen(x)+8

La solución de una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes se puede expresar con la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular, por lo cual procedemos a hallar estas soluciones.

Hallando la solución de la ecuación homogénea

y^'''-5y^''+6y^'=0

Ecuación característica

D^3-5D^2+6D=0

Hallando las raíces por medio de factorización

D(D^2-5D+6)=0

D((D-3)(D-2))=0

Por tanto las raíces serian

D=3 ,D=2 ,D=0

Obteniendo así el siguiente conjunto fundamental de soluciones

CFS: {e^3x,e^2x,1}

Por tanto obtenemos como solución de la ecuación homogénea

y_H=C_1 e^3x+C_2 e^2x+C_3

Empleando el método de coeficientes indeterminados para hallar la solución particular, para lo cual utilizaremos la parte independiente de la ecuación diferencial.

f_((x) )=2Sen(x)+8 y_p=ASen(x)+BCos(x)+Cx+D

y_p=ASen(x)+BCos(x)+Cx+D

〖y'〗_p=ACos(x)-BSen(x)+C

〖y''〗_p=-ASen(x)-BCos(x)

〖y'''〗_p=-ACos(x)+BSen(x)

Remplazando en la ecuación inicial

(-ACos(x)+BSen(x))-5(-ASen(x)-BCos(x))+6(ACos(x)-BSen(x)+C)=2Sen(x)+8

-ACos(x)+BSen(x)+5ASen(x)+5BCos(x)+ 6ACos(x)-6BSen(x)+6C=2Sen(x)+8

(5A+5B)Cos(x)+(5A-5B)Sen(x)+6C=2Sen(x)+8

Notemos que necesariamente se debe cumplir la igualdad de donde se desprende el siguiente sistema de ecuaciones.

1) 5A+5B=0

2)5A-5B=2

3) 6C=8

De donde obtenemos:

C=4/3

Hallando los otros valores

(de la ecuacion 2 obtenemos) A=2/5+B

(remplazando en 1) 2/5+B=-B →B=-1/5

(Como A=-B) A=1/5

Ya que D es una constante con valor igual a cero, la podemos sumar con la constante C3, por lo cual obtendríamos otra constante.

y_p=Sen(x)/5+4/3 x-(Cos(x))/5

Por tanto la solución general de la ecuación diferencial seria:

y=C_1 e^3x+C_2 e^2x+C_3+4/3 x+Sen(x)/5-(Cos(x))/5

5. Encontrar un operador diferencial que anule a:

a) xe^x

Solución:

Según la solución general

y=c_1 e^(∝x)+c_2 xe^(∝x)+…+c_n 〖x^(n-1) e〗^(∝x)

〖(D-1)〗^2 xe^x=0

b) 1-〖5x〗^2+〖8x〗^3

Solución:

Como el operador diferencial D^n anula cada una de las funciones

1,x,x^2,…x^(n-1)

De acuerdo con esto sabemos que

D^4 x^3=0

Como consecuencia

D^4 (1-〖5x〗^2+〖8x〗^3)=0

6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:

a). x^2 y^''+xy^'+y=0

Notemos que esta ecuación diferencial tiene la forma de la ecuación diferencial de cauchy-euler, por tanto:

Una posible solución de la ecuación diferencial es de la forma y=x^m, solo debemos hallar la constantes m.

Hallando las derivadas necesarias:

y=x^m

y'=〖mx〗^(m-1)

y^''=m(m-1) x^(m-2)

Remplazando en la ecuación diferencial obtenemos

x^2 (m(m-1) x^(m-2) )+x(〖mx〗^(m-1) )+x^m=0

Reduciendo la expresión:

x^2 (m^2 x^(m-2)-mx^(m-2) )+mx^m+x^m=0

m^2 x^m-mx^m+mx^m+x^m=0

m^2 x^m+x^m=0

Factorizando:

x^m (m^2+1)=0

Para que esta igualdad se cumpla x^m=0 o m^2+1=0, utilizaremos la segunda expresión para obtener el resultado:

m^2+1=0

m=±√(-1)=±i

m_1=i m_2=-i

Por tanto:

y_1 (x)=C_1 x^i

...