Integral De Linea

Unidad 2: Integral de línea

INTRODUCCIÓN

En este capítulo se abordará el tema de integral de línea, el cual es de gran ayuda en el área de ingeniería debido a que con ella podemos resolver ejercicios relacionados con el trabajo, cálculo de masa total, y los momentos de un cuerpo unidimensional.

La principal diferencia entre cualquier integral y la integral de línea radica en que en ésta última, las integrales se realizan sobre una trayectoria, de allí el nombre y su utilidad para calcular el trabajo realizado por una partícula al moverse de un lugar a otro, a través de un camino.

La Integral de línea se divide en dos casos, como lo muestra el siguiente diagrama:

Los ejercicios se dividen en tres grados de dificultad, a su vez cada ejercicio tiene una referencia en la cual se indica la fuente de la cual fue tomado el problema.

Para resolver los ejercicios con mayor claridad se presentan los siguientes diagramas que reflejan el procedimiento para resolver los EJERCICIOS.

Nivel Básico: La parametrización ya está dada.

Nivel Medio: Se obtiene la parametrización de una función ya dada.

Nivel Avanzado: La parametrización se obtiene de una función que se debe determinar a partir de la intersección de dos superficies, planos, etc.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Evalúa la siguiente integral de trayectoria donde:

con

Solución.

Sabemos:

Donde:

con

Sustituyendo:

2. Mostrar que la integral de trayectoria de a lo largo de una trayectoria dada en coordenadas polares por ; es:

Solución.

Sabemos:

Donde:

Pero:

Pero como:

Sustituyendo:

Sustituyendo en la formula:

3. Evaluar a lo largo de la trayectoria recorrido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde (1,0) hasta (0,1).

Solución.

Sabemos:

Donde:

Además:

Sustituyendo:

4. Evaluar a lo largo de con

Solución.

Sabemos:

Donde:

Además:

Sustituyendo:

5. Hallar la masa de una alambre formado por la intersección de la esfera y el plano si la densidad en está dada por gramos por unidad de longitud de alambre.

Solución.

SI es la intersección entre la esfera y el plano

Para calcular :

De 2:

Sustituyendo en 1:

De B:

...