TEOREMA DE GREEN E INTEGRAL DE LINEA

CALCULO VECTORIAL

TEOREMA DE GREEN E INTEGRAL DE LINEA

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo damos a conocer el concepto y aplicación del teorema de Green e integral de línea o curvilínea cuya función es avaluada sobre una curva en dos o tres dimensiones. También se refiere a una integral sobre una línea curva, que podría ser en ciertos casos una línea recta. Se le podría llamar también genéricamente integral de curva.

En el caso del teorema de Green Dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la anti derivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en este caso consta sólo de dos puntos, a y b. este teorema da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C.

TEOREMA DE GREEN E INTEGRAL DE LINEA

Este teorema se llama así por el científico británico George Green. En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (anti horaria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de la divergencia

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional del teorema de Stokes:

Donde es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación. Como es un vector apuntando tangencialmente a través de una curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría Ser . El módulo de este vector es . Por lo tanto .

Tomando los componentes de , el lado derecho se convierte en

Que por medio del teorema de Green resulta:

El teorema de Green establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la región plana limitada por .

El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general Teorema de Stokes.

Este tipo de teoremas resulta muy útil ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.

Por otra parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

El teorema de Green se cumple aún para regiones S que tengan uno o más hoyos (figura 3), siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias, en la forma como se muestra en la figura 4.

Figura 3 Figura 4

Ejemplo 1.

Sea C la frontera del triángulo de vértices (0, 0), (1, 2) y (0, 2) (figura 5). Calcule

4x2 y dx + 2y dy

Por el teorema de Green,

4x2 y dx + 2y dy = ∫ ∫ (0 – 4x2) dy dx

= ∫ [-4x2y] dx = ∫ (-8x2 + 8x3) dx

= -8x3 + 2x4 = -2

INTEGRALES DE LÍNEA

Puede seguirse un procedimiento para definir las integrales de línea de funciones de varias variables sobre curvas en dos o tres dimensiones.

Sea f una función de dos variables x y y que es continua en una región D, la cual contiene una curva regular C con una parametrización x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b. Se definirán tres integrales diferentes de f sobre C. Comenzamos dividiendo el intervalo del parámetro [a, b] escogiendo

a = 10 < 11< 12 < ... < 1n = b.

La norma de esta partición, es decir, la longitud del mayor sub intervalo [tk-1, tk], se denota por ||∆||. Si P (xk, yk) es el punto de C correspondiente a tk, entonces los puntos P0, P1, P2,..., Pn dividen a C en n subarcos Pk-1 Pk. Sean

∆xk = xk – xk-1, ∆yk = yk – yk-1, ∆sk = longitud

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