Integrales Ejercicios
Enviado por teddU • 22 de Octubre de 2013 • 350 Palabras (2 Páginas) • 375 Visitas
Lic. Elsie Hernández S.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
con y
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
a.
El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y como
entonces por lo que
Luego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Ejemplos:
1.
Sea con
Luego:
Sustituyendo:
Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:
2.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
Luego:
3.
Sea
Además:
Sustituyendo:
4.
Sea
Luego
Sustituyendo
pues y
También puede utilizarse:
5.
Ejercicio para el estudiante
6.
Ejercicio para el estudiante
7.
Ejercicio para el estudiante
b.
El integrando contiene una expresión de la forma con
Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y
Si entonces
Además
Como y entonces es positiva
y por tanto
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:
Ejemplos:
1.
Sea
Luego:
Sustituyendo
2.
Sea
Luego:
Sustituyendo
3.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como
de la sustitución inicial
Por tanto:
4.
Sea
Luego
...