EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

1.        Integrales impropias de primera especie

[pic 1]

1. Calcular[pic 2] con a > 0.

Soluci´on

Para n 6= −1,

[pic 3].

Si n > −1, entonces l´ım F(b) = ∞, con lo quediverge. b→∞[pic 4]

Si n < −1, entonces la integral converge y

[pic 5].

Para n = −1,

[pic 6]

y, como l´ım F(b) = ∞, la integral diverge.

b→∞

2. Calcular[pic 7].

Soluci´on

Resolvemos directamente la integral:

[pic 8].

3. Estudiar la convergencia de la integral [pic 9].

Soluci´on

Calcularemos directamente la integral aplicando la definici´on de integral impropia.

[pic 10],

de lo que se deduce que la integral es convergente.

Z ∞

        4. Estudiar la convergencia de la integral        e−a|x| dx, a ∈ R.

−∞

Soluci´on

En primer lugar, si a = 0, e0 = 1 y la integral diverge.

Si a 6= 0, descomponemos la integral en dos sumandos y obtenemos:

[pic 11]

si a > 0,

        k→−∞ a        a        m→∞        a        a        ∞        si a < 0.[pic 12]

Resulta en definitiva que la integral propuesta es convergente cuando a > 0 y divergente cuando a ≤ 0.

5. Calcular[pic 13]

Soluci´on

Utilizaremos la propiedad (4), relacionada con la integraci´on por partes para integrales impropias. Para ello, tomando f(x) = x, g0(x) = e−x, tenemos que f0(x) = 1, g(x) = −e−x y

[pic 14],

        debido a que l´ım[pic 15]        .

6. Hallar [pic 16].

Soluci´on

Como ambos l´ımites de integraci´on son infinitos, descomponemos la integral en dos sumandos.

Si escribimos el integrando como [pic 17], tenemos:

[pic 18].

7. Estudiar la convergencia de la integral [pic 19].

Soluci´on

Si calculamos directamente la integral, tenemos:

[pic 20]

de modo que la integral es convergente.

8. Estudiar la convergencia de la integral [pic 21].

Soluci´on

Resolvemos en primer lugar la integral indefinida haciendo el cambio de variable ex = t:

...