Investigacion de operaciones . Las cadenas de Markov

ÍNDICE DE CONTENIDO

ÍNDICE DE CONTENIDO        

ÍNDICE GRÁFICO        

ÍNDICE DE TABLAS        

MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL        

OBJETIVO GENERAL        

OBJETIVOS ESPECÍFICOS        

1.        PLANTEACIÓN DEL PROBLEMA        

2.        METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN        

3.        RECOLECCIÓN DE DATOS        

4.        RESULTADOS OBTENIDOS POR LAS ENCUESTAS        

4.1.        Resultados de la Primera encuesta        

4.2.        Resultados segunda encuesta        

5.        MATRIZ DE TRANSICION        

5.1.        Proceso Para Determinar Las Probabilidades De La Matriz De Transición        

6.        ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN        

7. CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN……………………12

CONCLUSIONES

ANEXOS

ÍNDICE GRÁFICO

Gráfico Nº 1: Marca de bebidas de gaseosa con mayor Aceptación        

Gráfico Nº 2: Resultados De La Segunda Encuesta        

Gráfico Nº 3: Diagrama De Estados        

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Tabla De Pares        

Tabla 2. Base De Datos De La Encuesta        

Tabla 3.Matriz De Transición        

Tabla 4.Matriz De Transición        

Tabla 5.Probabilidades De Transición        

MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL

Las cadenas de Markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas. Es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.

Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1907.

Estos modelos estadísticos cuentan con un gran número de aplicaciones reales.

Una Cadena de Markov es:

• Un proceso estocástico
• Con un número finito de estados (M)
• Con probabilidades de transición estacionarias
• Que tiene la propiedad Markoviana

Propiedad de Markov:

Dada una secuencia de variables aleatorias......,,, X1 X2 X3, tales que el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:[pic 1]

Donde Xi es el estado del proceso en el instante i.

Las ventajas y desventajas de usar teoría de Markov:

• Teoría de Markov es simple de aplicar y entender.
• Cálculos de sensibilidad (contestar las preguntas "qué-si") se llevan a cabo fácilmente.
• La teoría de Markov nos da con el tiempo una visión de los cambios en el sistema.
• P puede ser dependiente del estado actual del sistema. Si P es dependiente tanto del tiempo y del estado actual del sistema i.e., P es una función de t y st, entonces la ecuación de Markov básica se vuelve st=st-1P (t-1, st-1).
• La teoría de Markov es un modelo simplificado de un proceso de toma de decisión complejo.

Elementos De Una Cadena de Markov

• Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)
• Ciclo de markov (“paso”) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar  las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)
• Probabilidades de transición entre estados, en un ciclo (matriz P)
• Distribución  inicial del sistema entre los M estados posibles

OBJETIVO GENERAL

Analizar y evaluar las preferencias del alumnado respecto a 3 marcas de bebidas gaseosas y determinar la marca de gaseosa de mayor aceptación entre las personas ubicadas alrededor de la Universidad Nacional de Piura

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Aplicar entre los estudiantes dos encuestas para conocer el estado actual y realizar un estudio con Cadenas de Markov.

• Construir la matriz de transición para determinar la probabilidad de que una persona cambie su preferencia a través de un tiempo a otro.

• Determinar las probabilidades de transición  con los datos obtenidos de la segunda encuesta mediante una pregunta indirecta para comprobar si cambiaria de opción.

1. PLANTEACIÓN DEL PROBLEMA

Suponga una evaluación para determinar que marca de gaseosa de 3 seleccionados de un total de 40 muestreados tienen mayor aceptación por parte de las personas.

1. METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

Para el cálculo de las probabilidades sobre las preferencias del alumnado respecto a 3  marcas de gaseosas se  realizaron  2 encuesta a 40 personas.

En la primera encuesta se determinó a las 3 marcas de bebidas de gaseosas con más preferencia por el alumnado de la facultad. Mediante  la posterior encuesta se pudo hallar la matriz de transición.

1. RECOLECCIÓN DE DATOS

Muestra:

Se aplicó dos encuestas a un total de 40 personas

Cuestionarios:

Para conocer las tres marcas de bebidas de gaseosas con mayor aceptación en la mencionada facultad, se realizaron las encuestas aleatoriamente a un total de 40 alumnos, obteniéndose la tabla N°01, de los cuales se eligió a los tres de mayor puntuación:

• Coca Cola
• Kola Real
• Inka Cola

Para conocer las preferencias entre las tres marcas de bebidas de gaseosas  seleccionadas y la probabilidad de cambio de preferencia, se realizó una segunda encuesta a un total de 40 personas a los cuales se les pidió indicaran:

• Marca de bebida de gaseosa de mayor preferencia.
• Su cambio o permanencia de preferencia sobre la marca de bebida de gaseosa seleccionada, suponiendo que esas tres marcas estuvieran presentes en la misma tienda pero en diferentes horarios.

El detalle de las encuestas se muestra en el anexo 01.

1. RESULTADOS OBTENIDOS POR LAS ENCUESTAS

1. Resultados de la Primera encuesta

De las 40 encuestas se obtuvo que las marcas de bebidas de gaseosas con mayor aceptación por parte de las personas encuestadas:

• Coca Cola        15%
• Kola Real        14%
• Inka Kola        11%

[pic 2]

Gráfico Nº 1: Marca de bebidas de gaseosa con mayor Aceptación

1. Resultados segunda encuesta

Resultados obtenidos de la preferencia entre las tres marcas de  bebidas de gaseosa seleccionadas

• Coca Cola    (CC)           =        24 personas (60%)
• Kola Real           (KR)        =        11 personas (27%)
• Inka Kola          (IK)        =        5 personas (13%)

[pic 3]

        Gráfico Nº 2: Resultados De La Segunda Encuesta

1. MATRIZ DE TRANSICION

La matriz de transición permite determinar la probabilidad de que una persona cambie su preferencia a través de un tiempo a otro. Tiene la propiedad de que todas sus probabilidades de transición pij son estacionarias e independientes a lo largo del tiempo.

En esta cadena de Markov  se consideran como estados la preferencia de:

• Coca Cola    (CC)
• Kola Real           (KR)
• Inka Kola          (IK)

1. Proceso Para Determinar Las Probabilidades De La Matriz De Transición

1. Primero se determinan los pares darán origen a las probabilidades de transición para cada marca de bebida de gaseosa.

Tabla 1. Tabla De Pares

1. Luego se pasa al conteo de las preferencias de las personas de la encuesta aplicada. Ver anexo 2.

Tabla 2. Base De Datos De La Encuesta

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