LA FRACCION GENERATRIZ

INTRODUCCIÓN

Cuando desarrollamos algunos problemas o ejercicios de matemática, se nos presenta en algunos casos números decimales (ya sean exactos, periódicos puros o mixtos) con fracciones. Entonces decidimos, en algunas ocasiones, trabajar con fracciones pero no sabemos transformar los números decimales a sus respectivas fracciones generatrices, o en el mejor de los casos no lo recordamos. Por lo que más adelante veremos cómo se determinan éstos y algunos ejercicios.

En el siguiente trabajo se estará desarrollando a parte de lo que son las fracciones generatrices y cómo es su procedimiento para resolverlas, también se observará lo que es el Teorema de Pitágoras, como se aplica, los números irracionales, cuáles son y sobre los números reales, sus operaciones y algunos ejercicios.

LA FRACCIÓN GENERATRIZ DE EXPRESIONES DECIMALES LIMITADAS PURAS:

Las expresiones decimales limitadas son aquellas fracciones cuyos denominadores son potencias de 10. Es una fracción que tiene por numerador al número, escrito sin coma decimal, y por denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene.

Ejemplo: 0,25 = 25/100

LA FRACCIÓN GENERATRIZ DE EXPRESIONES DECIMALES ILIMITADAS PURAS:

Cuando sus infinitas cifras decimales se repiten en un grupo de cifras llamado periodo inmediatamente después de la coma.. Es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin coma, menos el número formado por las cifras anteriores a la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras decimales hay en el periodo.

Ejemplo: 4,28 (28 periodico)= (428 - 4)/99 =424/99

LA FRACCIÓN GENERATRIZ DE EXPRESIONES DECIMALES MIXTAS:

Cuando tienen una parte decimal limitada no periódica y a continuación infinitas cifras decimales que se repiten formando un periodo. Es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin la coma, menos el número formado por las cifras anteriores al periodo quitándole la coma. Por denominador tiene tantos nueves como cifras hay en el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el periodo.

Ejemplo: 1,075 (75 periodico) = ( (1075-10)/990 = 1065/990 = 71/66

2) TEOREMA DE PITÁGORAS

Recordemos que:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC = cateto = a

BC = cateto = b

AB = hipotenusa = c

La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2

c2 = a2 + b2

Ejemplo: La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 12 cm es igual al lado de un cuadrado. ¿Cuánto mide la hipotenusa de ese cuadrado?

3) NÚMEROS IRRACIONALES

En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con “n” diferente de cero y donde ésta fracción es irreducible.

Números irracionales famosos:

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)

√99 9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Ejemplos:

4) NÚMEROS REALES

Los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real.

Operaciones con Números Reales:

• Suma de números reales:

1. Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b

+

2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) •

3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

+ 0 =

5. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(− ) =

• División de números reales: La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

• Diferencia de números reales: La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

• Producto de números reales: La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades:

1. Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a • b

2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a • b) • c = a • (b • c)

(e • ) • = e • ( • )

3. Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a • b = b • a

4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a •1 = a

• 1 =

5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6. Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a • (b + c) = a • b + a • c

• (e + ) = • e + •

7. Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a • b + a • c = a • (b + c)

• e + • = • (e + )

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