“LOS NÚMEROS REALES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA”

“LOS NÚMEROS REALES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA”

1. INTRODUCCIÓN:

1. Presentación y contextualización

Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante comprenda las estructuras de los números reales, las ecuaciones de la recta y de las cónicas, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

1. Competencia

Identifica y comprende los axiomas en el conjunto de los  números reales y de la geometría analítica.

1. Capacidades

• Identifica y comprende los axiomas en el conjunto de los  números reales.
• Relaciona y compara  la pendiente de la recta , la distancia entre dos puntos, la ecuación de la recta.
• Analiza y aplica la ecuación de la circunferencia.
• Reconoce y evalúa la ecuación de la la elipse.

1. Actitudes

Disposición emprendedora: Toma iniciativa y lidera al equipo en el cumplimiento de las actividades asignadas. Promueve actividades y toma de decisiones pertinentes. Reconoce y valora las relaciones entre  “lenguaje gráfico” y “lenguaje algebraico”. Valora la medida para transmitir informaciones relativas al entorno. Muestra interés por las construcciones geométricas en el plano cartesiano y las relaciones que se pueden presentar entre figuras presentes en él. Confía en su capacidad para percibir el plano y resolver problemas geométricos.

1. Ideas básicas y contenidos esenciales de la Unidad.

La Unidad de Aprendizaje 1: “LOS NÚMEROS REALES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA” comprende el desarrollo de los siguientes temas:

1. Estructura Algebraica de R :
2. Conceptos Básicos de Geometría Analítica Plana.
3.  La Ecuación de la Circunferencia.
4. La Ecuación de la Elipse.

1. DESARROLLO DE LOS TEMAS :

[pic 2]

1. Definición axiomática.- El sistema de los números reales es un conjunto R donde se han definido las operaciones de adición “+” y multiplicación “.”, las relaciones de igualdad “=” y orden menor “<”, satisfaciendo los siguientes axiomas:

1.1. Axiomas de la Adición:

A1) [pic 3]a[pic 4]R, [pic 5]b[pic 6]R; a+b[pic 7]R   (Clausura o cerradura)

A2) [pic 8]a[pic 9]R, [pic 10]b[pic 11]R; a+b=b+a   (Conmutativa)

A3) [pic 12]a[pic 13]R, [pic 14]b[pic 15]R, [pic 16]c[pic 17]R; (a+b)+c=a+(b+c)   (Asociativa)

A4) [pic 18]0[pic 19]R, [pic 20]b[pic 21]R; a+0=a   (Existencia del elemento neutro aditivo)

A5) [pic 22]a[pic 23]R, [pic 24](-a)[pic 25]R; a+(-a)=0   (Existencia del elemento inverso aditivo)

Definición de la sustracción

 [pic 26]a[pic 27]R, [pic 28]b[pic 29]R; a-b=a+(-b)

1.2. Axiomas de la Multiplicación:

M1) [pic 30]a[pic 31]R, [pic 32]b[pic 33]R; a.b[pic 34]R   (Clausura o cerradura)

M2) [pic 35]a[pic 36]R, [pic 37]b[pic 38]R; a.b=b.a   (Conmutativa)

M3) [pic 39]a[pic 40]R, [pic 41]b[pic 42]R, [pic 43]c[pic 44]R; (a.b).c=a.(b.c)   (Asociativa)

M4) [pic 45]1[pic 46]R, [pic 47]b[pic 48]R; a.1=a   (Existencia del elemento neutro multiplicativo)

M5) [pic 49]a[pic 50]R, a[pic 51]0, [pic 52](a-1)[pic 53]R; a.(a-1)=1 (Existencia del elemento inverso multiplicativo)

Nota.- En la práctica el punto “.” que simboliza la multiplicación se omite.

Definición de la división

                                                  [pic 54]a[pic 55]R, [pic 56]b[pic 57]R, b[pic 58]0; [pic 59]

1.3. Axioma de la Distributividad

Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición

D) [pic 60]a[pic 61]R, [pic 62]b[pic 63]R, [pic 64]c[pic 65]R; a.(b+c)=a.b+a.c

1.4. Axiomas de la Relación de Igualdad

I1) [pic 66]a[pic 67]R, [pic 68]b[pic 69]R; a=b  ó a[pic 70]b   (Dicotomía)

I2) [pic 71]a[pic 72]R; a=a   (Reflexiva)

I3) [pic 73]a[pic 74]R, [pic 75]b[pic 76]R; a=b [pic 77] b=a   (Simétrica)

I4) [pic 78]a[pic 79]R, [pic 80]b[pic 81]R, [pic 82]c[pic 83]R; ( a=b [pic 84] b=c ) [pic 85] a=c   (Transitiva)

1.5 Axiomas de la Relación de Orden

O1) [pic 86]a[pic 87]R, [pic 88]b[pic 89]R; una y solamente una de las siguientes relaciones se verifica

        a

O2) [pic 90]a[pic 91]R, [pic 92]b[pic 93]R, [pic 94]c[pic 95]R; ( a[pic 96] b) [pic 97] a(Transitiva)

O3) [pic 98]a[pic 99]R, [pic 100]b[pic 101]R, [pic 102]c[pic 103]R; a[pic 104] a+c(Monotonía con respecto a la adición)

O4) [pic 105]a[pic 106]R, [pic 107]b[pic 108]R, [pic 109]c[pic 110]R, 0[pic 111] a.c

        (Monotonía con respecto a la multiplicación)

Definición de las relaciones: mayor, menor o igual y mayor o igual

1. a>b [pic 112] b
2. a[pic 113]b [pic 114] ( a[pic 115] a=b )
3. a[pic 116] [pic 117] ( a>b [pic 118] a=b )
4. a[pic 119] ( a[pic 120] x)

1.6. Axioma del Supremo

S) Todo conjunto de números reales  A[pic 121],  acotado superiormente tiene una mínima

     cota superior en R, llamada supremo de A.

Definiciones de cota superior y supremo de un conjunto de R.

Si A[pic 122]R,  A[pic 123]; diremos que [pic 124] es cota superior de A [pic 125] [pic 126][pic 127]x, [pic 128]x[pic 129]A. Luego diremos que [pic 130] es el supremo de A lo que denotamos por Sup A=[pic 131] si: